Вычисление площади

Найти площадь поверхности конуса

Пример решили: 201 раз Сегодня решили: 0 раз
Введите длину образующей и радиус

Вычисление площади поверхности конуса

Конической поверхность называется поверхность, производимая движением прямой SA (образующей), перемещаемой в пространстве так, что она при этом всё время проходит через неподвижную точку S (вершину) и пересекает направляющую конической поверхности.

Площадь поверхности конуса

Конус – тело, ограниченное конической поверхностью.

Существуют следующие виды конусов:

  • Наклонный (косой) конус – конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
  • Круговой конус –конус, основание которого является кругом.
  • Прямой круговой конус – конус, полученный вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет.
  • Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).

Площадь кругового конуса равна трети произведения площади основания на образующую L, а площадь основания равна площади круга:

$$S= {1 \over 3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot L$$

Примеры решений
  1. Найдите площадь поверхности конуса, если радиус равен 12 см, а образующая 9 см.
    Посмотреть решение
    Дано:

    $$ r = 12 \ см $$

    $$ l = 9 \ см $$

    Решение:

    По формуле для площади поверхности конуса:

    $$ S = r \cdot \pi (r + l) $$

    $$ S = 12 \cdot \pi \cdot 21 = 252 \cdot \pi = 791.68 \ см^2 $$

    $$ S = 791.68 \ см^2 $$

    Ответ:

    $$ S = 791.68 см^2 $$

  2. Найдите площадь поверхности конуса, если площадь боковой поверхности равна 10 *π см², а образующая 5 см.
    Посмотреть решение
    Дано:

    $$ Sбок =10 \cdot \pi \ см^2 $$

    $$ l = 5 \ см $$

    Решение:

    Из формулы площади боковой поверхности находим радиус конуса:

    $$ Sбок = r \cdot \pi \cdot l $$

    $$ r = \frac{Sбок}{(\pi \cdot l)} $$

    $$ r = \frac{10 \cdot \pi}{ \pi \cdot 5} = 2 \ см$$

    По формуле для площади поверхности конуса:

    $$ S = r \cdot \pi (r + l) $$

    $$ S = 2 \cdot \pi \cdot 7 = 43.98 \ см^2 $$

    Ответ:

    $$ S = 43.98 см^2 $$

  3. Найдите площадь поверхности конуса, если площадь основания равна 16*π см², а образующая 7 см.
    Посмотреть решение
    Дано:

    $$ Sосн = 16 \cdot \pi \ см^2 $$

    $$ l = 7 \ см $$

    Решение:

    Из фолрмулы для площади основания находим радиус конуса:

    $$ Sосн = \pi \cdot r^2 $$

    $$ r = \sqrt{ \frac{Sосн}{\pi} } $$

    $$ r = \sqrt{16} = 4 \ см $$

    По формуле для площади поверхности конуса:

    $$ S = r \cdot \pi (r + l) $$

    $$ S = 44 \cdot \pi = 138.23 \ см^2 $$

    Ответ:

    $$ S = 138.23 см^2 $$

  4. Найдите площадь поверхности конуса, если высота равна 6 см, а радиус 8 см.
    Посмотреть решение
    Дано:

    $$ r = 8 \ см $$

    $$ h = 6 \ см $$

    Решение:

    По теореме Пифагора найднм образующую конуса:

    $$ l^2 = r^2 + h^2 $$

    $$ l = \sqrt{ (r^2 + h^2) } = \sqrt{(36 + 64)} = 10 \ см $$

    По формуле для площади поверхности конуса:

    $$ S = r \cdot \pi (r + l) $$

    $$ S = 144 \cdot \pi = 452.39 \ см^2 $$

    Ответ:

    $$ S = 452.39 см^2 $$

  5. Найдите площадь поверхности конуса, если объём равен 16*π см³ высота 3 см.
    Посмотреть решение
    Дано:

    $$ V = 16 \cdot \Pi \ см^3 $$

    $$ h = 3 \ см $$

    Решение:

    Из формулы объема находим площадь основания:

    $$ V = Sосн \cdot \frac{h}{3} $$

    $$ Sосн = 16 \cdot \pi \cdot \frac{3}{3} = 16 \pi \ см^3 $$

    Зная площадь основания, находим радиус:

    $$ Sосн = \Pi \cdot r^2 $$

    $$ r = \sqrt{ \frac{Sосн}{\pi} } = \sqrt{ \frac{16 \pi}{\pi} } = 4 \ см $$

    Зная радиус и высоту, по теореме Пифагора находим образующую:

    $$ l^2 = r^2 + h^2 $$

    $$ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{ 16 + 9} = 5 \ см $$

    По формуле для площади поверхности конуса:

    $$ S=r \cdot \pi \cdot (r+l) $$

    $$ S = 4 \cdot 9 \cdot \pi = 36 \cdot \pi = 113.1 \ см^2 $$

    Ответ:

    $$ S = 113.1 см^2 $$

Попробуйте другие сервисы

Написать нам

Оставить отзыв

Подтверждение

Теперь Вам нужно перейти в свою почту и подтвердить отправку отзыва