Найти площадь поверхности конуса
Конической поверхность называется поверхность, производимая движением прямой SA (образующей), перемещаемой в пространстве так, что она при этом всё время проходит через неподвижную точку S (вершину) и пересекает направляющую конической поверхности.
Конус – тело, ограниченное конической поверхностью.
Существуют следующие виды конусов:
- Наклонный (косой) конус – конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
- Круговой конус –конус, основание которого является кругом.
- Прямой круговой конус – конус, полученный вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет.
- Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
Площадь кругового конуса равна трети произведения площади основания на образующую L, а площадь основания равна площади круга:
$$S= {1 \over 3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot L$$
- Найдите площадь поверхности конуса, если радиус равен 12 см, а образующая 9 см.
Посмотреть решениеДано:$$ r = 12 \ см $$
$$ l = 9 \ см $$
Решение:По формуле для площади поверхности конуса:
$$ S = r \cdot \pi (r + l) $$
$$ S = 12 \cdot \pi \cdot 21 = 252 \cdot \pi = 791.68 \ см^2 $$
$$ S = 791.68 \ см^2 $$
Ответ:$$ S = 791.68 см^2 $$
- Найдите площадь поверхности конуса, если площадь боковой поверхности равна 10 *π см², а образующая 5 см.
Посмотреть решениеДано:$$ Sбок =10 \cdot \pi \ см^2 $$
$$ l = 5 \ см $$
Решение:Из формулы площади боковой поверхности находим радиус конуса:
$$ Sбок = r \cdot \pi \cdot l $$
$$ r = \frac{Sбок}{(\pi \cdot l)} $$
$$ r = \frac{10 \cdot \pi}{ \pi \cdot 5} = 2 \ см$$
По формуле для площади поверхности конуса:
$$ S = r \cdot \pi (r + l) $$
$$ S = 2 \cdot \pi \cdot 7 = 43.98 \ см^2 $$
Ответ:$$ S = 43.98 см^2 $$
- Найдите площадь поверхности конуса, если площадь основания равна 16*π см², а образующая 7 см.
Посмотреть решениеДано:$$ Sосн = 16 \cdot \pi \ см^2 $$
$$ l = 7 \ см $$
Решение:Из фолрмулы для площади основания находим радиус конуса:
$$ Sосн = \pi \cdot r^2 $$
$$ r = \sqrt{ \frac{Sосн}{\pi} } $$
$$ r = \sqrt{16} = 4 \ см $$
По формуле для площади поверхности конуса:
$$ S = r \cdot \pi (r + l) $$
$$ S = 44 \cdot \pi = 138.23 \ см^2 $$
Ответ:$$ S = 138.23 см^2 $$
- Найдите площадь поверхности конуса, если высота равна 6 см, а радиус 8 см.
Посмотреть решениеДано:$$ r = 8 \ см $$
$$ h = 6 \ см $$
Решение:По теореме Пифагора найднм образующую конуса:
$$ l^2 = r^2 + h^2 $$
$$ l = \sqrt{ (r^2 + h^2) } = \sqrt{(36 + 64)} = 10 \ см $$
По формуле для площади поверхности конуса:
$$ S = r \cdot \pi (r + l) $$
$$ S = 144 \cdot \pi = 452.39 \ см^2 $$
Ответ:$$ S = 452.39 см^2 $$
- Найдите площадь поверхности конуса, если объём равен 16*π см³ высота 3 см.
Посмотреть решениеДано:$$ V = 16 \cdot \Pi \ см^3 $$
$$ h = 3 \ см $$
Решение:Из формулы объема находим площадь основания:
$$ V = Sосн \cdot \frac{h}{3} $$
$$ Sосн = 16 \cdot \pi \cdot \frac{3}{3} = 16 \pi \ см^3 $$
Зная площадь основания, находим радиус:
$$ Sосн = \Pi \cdot r^2 $$
$$ r = \sqrt{ \frac{Sосн}{\pi} } = \sqrt{ \frac{16 \pi}{\pi} } = 4 \ см $$
Зная радиус и высоту, по теореме Пифагора находим образующую:
$$ l^2 = r^2 + h^2 $$
$$ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{ 16 + 9} = 5 \ см $$
По формуле для площади поверхности конуса:
$$ S=r \cdot \pi \cdot (r+l) $$
$$ S = 4 \cdot 9 \cdot \pi = 36 \cdot \pi = 113.1 \ см^2 $$
Ответ:$$ S = 113.1 см^2 $$