Вычисление площади

Найти площадь ромба

Пример решили: 2088 раз Сегодня решили: 2 раза

Введите длины диагоналей ромба
Введите длины стороны и опущенной на неё высоты
Вычисление площади ромба

Ромб – особый вид параллелограмма, у которого все стороны равны, а противоположные углы тоже равны.
Диагонали ромба перпендикулярны друг другу, также они являются осями симметрии ромба.
Диагонали делят углы пополам, так как они являются и биссектрисами углов. В ромб можно вписать окружность.

Площадь ромба

Площадь ромба можно найти по нескольким формулам.

Если известны стороны и острый угол, то площадь ромба находится как произведение квадрата стороны на синус угла:

$$S = a^2 \cdot \sin(A)$$

Если известны стороны ромба и высота, опущенная на одну из сторон, то площадь можно найти, перемножив эти величины:

$$S = a \cdot h$$

Данный сервис использует формулу расчёта площади ромба, если известны диагонали:

$$S = {d_1 \cdot d_2 \over 2}$$

Примеры решений
  1. Найти площадь ромба с диагоналями 10 и 6.
    Посмотреть решение

    Дано:

    $$d_1 = 10$$

    $$d_2 = 6$$

    $$\pi = 3.14$$

    Решение:

    $$S = {(d_1 \cdot d_2) \over 2} = 10 \cdot {6 \over 2} = 30$$

    Ответ:

    $$S=30$$

  2. Найти площадь ромба ABCD, если известно, что радиусы описанных около треугольников ABD и ABC окружностей равны 10 и 20, соответственно.
    Посмотреть решение

    Дано:

    $$R = 20$$

    $$r = 10$$

    Решение:

    Обозначим $$\angle BAC = \widehat A$$.

    Тогда

    $$AB = 2 \cdot R \cdot \sin \angle ACB = 2 \cdot R \cdot \sin \widehat A, AB = 2 \cdot r \cdot \sin \angle BDA = 2 \cdot r \cdot \sin(90° - \widehat A) = 2 \cdot r \cdot \cos \widehat A$$

    следовательно, $$\tan \widehat A = {r \over R} = {1 \over 2}$$

    Отсюда $$\widehat A = \arctan \left({1 \over 2} \right) = 0.4636476$$

    Теперь можно вычислить длины диагоналей ромба:

    $$AC = 2 \cdot R \cdot \sin (2 \cdot \widehat A) = 40 \cdot 0.8 = 32$$,

    $$BD = 2 \cdot r \cdot \sin (2 \cdot \widehat A) = 20 \cdot 0.8 = 16$$.

    Значит площадь ромба будет равна:

    $$S = {1 \over 2} \cdot d_1 \cdot d_2 = {1 \over 2} \cdot 32 \cdot 16 = 256$$

    Ответ:

    $$S = 256$$

  3. Найти площадь ромба со стороной 5 и диагональю 8
    Посмотреть решение

    Найти площадь ромба со стороной 5 и диагональю 8

    Дано:

    $$a = 5$$

    $$d_1 = 8$$

    Решение:

    По теореме Пифагора:

    $$a^2 = \left({d_1 \over 2} \right)^2 + \left({d_2 \over 2}\right)^2$$ , т.е.

    $$5^2 = \left( {8 \over 2} \right)^2 + ({d_2 \over 2})^2$$, откуда

    $$\left({d_2 \over 2}\right)^2 = 9$$, значит

    $${d_2 \over 2} = 3 $$

    Следовательно площадь ромба будет равна:

    $$S = {1 \over 2} \cdot d_1 \cdot d_2 = 24 $$

    Ответ:

    $$S = 24$$

  4. Найти площадь ромба с длиной высоты 3, если его высота, опущенная на основание, делит его пополам.
    Посмотреть решение

    Найти площадь ромба с длиной высоты 3, если его высота, опущенная на основание, делит его пополам.

    Дано:

    $$h = 3$$

    $$|AE| = |ED|$$

    Решение:

    Пусть а - длина стороны ромба, а d1 и d2 - длины его диагоналей, тогда по теореме Пифагора получаем:

    $$а^2 = \left({а \over 2} \right)^2 + h^2$$ и

    $$d_2^2 = \left({а \over 2} \right)^2 + h^2$$

    Следовательно: $${3 \over 4} \cdot а^2 = 32$$, значит

    $$а^2 = 12$$, откуда

    $$d_2^2 = 12$$

    Снова, воспользовавшись теоремой Пифагора получаем:

    $$а^2 = \left( {d_1 \over 2} \right)^2 + \left( {d_2 \over 2} \right)^2$$ , отсюда

    $$\left({d_1 \over 2} \right)^2 = {3 \over 4} \cdot а^2 = 3^2 =9$$, следовательно:

    $$d_1= {\sqrt 36} = 6$$ и

    $$d_2= {\sqrt 12} = 3,4641$$

    Следовательно площадь ромба будет равна:

    $$S = {1 \over 2} \cdot d1 \cdot d2 = 10,3923$$

    Ответ:

    $$S = 10,3923$$

  5. Найти площадь ромба с периметром 40 и углом между сторонами 60°.
    Посмотреть решение

    Дано:

    $$Р = 40$$

    $$ \angle ab = 60^o$$

    Решение:

    Так как длины всех сторон в ромбе равны, то длина одной стороны будет равна:

    $$a = {P \over 4} = 10.$$

    Так как диагонали ромба одновременно являются его биссектрисами и делятся точкой пересечения пополам, то, обозначив длины диагоналей через $$d_1$$ и $$d_2$$, получаем:

    $$d_1 = 2 \cdot 10 \cdot \sin 30°$$ и $$d_2 = 2 \cdot 10 \cdot \cos 30 ^\circ$$, откуда:

    $$d_1 = 10, d_2 = 17,32 $$

    Следовательно площадь ромба будет равна:

    $$S = {1 \over 2} \cdot d_1 \cdot d_2 = 86,6$$

    Ответ:

    $$S = 86,6$$

Попробуйте другие сервисы

Написать нам

Оставить отзыв

Подтверждение

Теперь Вам нужно перейти в свою почту и подтвердить отправку отзыва