Вычисление площади

Найти площадь треугольника

Пример решили: 34967 раз Сегодня решили: 190 раз




Введите длины сторон треугольника
Введите длину стороны и опущенной на неё высоты
Введите длину стороны и значения прилегающих углов
По трем сторонам и радиусу описанной окружности

По трем сторонам и радиусу вписанной окружности

Вычисление площади треугольника

Данный сервис поможет вам найти площадь треугольника онлайн.

Треугольник – геометрическая фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и соединёнными между собой. Длина каждой стороны треугольника не превосходит суммы длин двух других сторон.

Площадь треугольника

В любом треугольнике сумма углов равна 180° или π радиан. Также в любом треугольнике против равных сторон лежат равные углы, а против большей стороны лежит больший угол.

Площадь треугольника можно найти по разным формулам.

Если известна хотя бы одна из сторон и высота, опущенная на это сторону, то площадь находится как половина произведения этих величин:

Формула площади треугольника по известной стороне и высоте

Если известна хотя бы одна из сторон и высота, опущенная на это сторону, то площадь находится как половина произведения этих величин:

$$S = {1\over 2} \cdot a \cdot h_a = {1\over 2} \cdot b \cdot h_b = {1\over 2} \cdot c \cdot h_c.$$

Если известны две стороны и угол между ними, то площадь треугольника можно найти, умножив эти величины и разделив на 2:

$$S = {1\over 2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) = {1\over 2} \cdot a \cdot c \cdot \sin(B)={1\over 2}\cdot b \cdot c \cdot \sin(A)$$

В данном онлайн-сервисе используется формула Герона для вычисления площади треугольника (необходимо знать длины трех сторон):

$$S=\sqrt{p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)} $$

где

$$p={a+b+c \over 2}$$

Примеры решений
  1. Найти площадь треугольника с длинами сторон 5, 7 и 10
    Посмотреть решение

    Дано:

    $$a = 5 \quad b = 7 \quad c = 10 $$

    Решение:

    По формуле Герона:

    $$S=\sqrt{p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)} $$ , где

    $$p={a+b+c \over 2}$$ – полупериметр.

    $$p= {(5 + 7 + 10)\over 2} = 11$$

    Следовательно $$S=\sqrt{11 \cdot (11-5) \cdot (11-7) \cdot (11-10)} = 16,24808$$

    Ответ:

    $$S=16,24808$$

  2. Найти площадь треугольника с длинами сторон 6, 7 и периметром 22
    Посмотреть решение

    Дано:

    $$a = 6 \quad b = 7 \quad P = 22$$

    Решение:

    Предварительно вычислим полупериметр и длину третьей стороны:
    $$p={P \over 2} = 11$$ – полупериметр

    $$c = P - a - b = 22 - 6 - 7 = 9$$

    Теперь воспользуемся формулой Герона:

    $$S=\sqrt{p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)} $$

    $$S=\sqrt{11 \cdot (11-6) \cdot (11-7) \cdot (11-9)} = 20,97618 $$

    Ответ:

    $$S = 20,97618$$

  3. Три окружности с радиусами 6, 7, 8 внешне попарно касаются друг друга. Найти площадь треугольника, образованного центрами этих окружностей.
    Посмотреть решение

    Три окружности с радиусами 6, 7, 8 внешне попарно касаются друг друга. Найти площадь треугольника, образованного центрами этих окружностей.

    Дано:

    $$r_1 = 6 \quad r_2 = 7 \quad r_3 = 8$$

    Решение:

    Отрезки, соединяющие центры двух касающихся окружностей, проходят через точку их касания, следовательно длины сторон треугольника, образованного центрами этих окружностей,
    будут равны 13, 14, 15.

    $$р = {(13 + 14 + 15) \over 2} = 21$$ – полупериметр

    а площадь по формуле Герона:

    $$S=\sqrt{p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)} $$

    $$S=\sqrt{21 \cdot (21-13) \cdot (21-14) \cdot (21-15)} = 84$$

    Ответ:

    $$S = 84$$

  4. Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой длиной 5.
    Посмотреть решение

    Дано:

    $$a = b \quad c = 10$$

    Решение:

    Используя теорему Пифагора, находим длины катетов треугольника:

    $$a^2 + b^2 = c^2$$

    $$a^2 + a^2 = 10^2$$

    $$2a^2 = 100$$

    $$a = \sqrt50 = 7,071$$

    Теперь вычисляем полупериметр: $$p = {(a + b + c) \over 2}$$

    и подставляем полученные значения в формулу Герона:

    $$S = \sqrt{(р \cdot (р - a) \cdot (р - b) \cdot (р - c))} = 24.99952 = 25$$

    Ответ:

    $$S = 25$$

  5. Найти площадь равностороннего треугольника с периметром 30.
    Посмотреть решение

    Дано:

    $$a = b = c$$

    $$P = 30$$

    Решение:

    Предварительно вычислим длины трех сторон и полупериметр:

    $$a = b = c = P / 3 = 10$$

    $$p = {P \over 2} = 15$$

    Теперь воспользуемся формулой Герона:

    $$S = \sqrt{(15 · (15 - 10) · (15 - 10) · (15 - 10))} = \sqrt{1875} = 43.30127$$

    Ответ:

    $$S = 43.30127$$

Попробуйте другие сервисы

Написать нам

Оставить отзыв

Подтверждение

Теперь Вам нужно перейти в свою почту и подтвердить отправку отзыва