Тригонометрия

Вычислить синус онлайн

Пример решили: 36970 раз Сегодня решили: 112 раз
Введите градусы или радианы

Вычисление синуса

В прямоугольном треугольнике с острым углом α справедливо следующее соотношение:
синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Тригонометрический треугольник

Формула вычисления синуса:

$$ \sin \, \color{red}{\alpha} = {b \over c} $$

График функции y = sin(x):

График синуса
Примеры решений
  1. Прямоугольный треугольник имеет гипотенузу 12 см и острый угол 35⁰. Вычислите его катеты.
    Посмотреть решение
    Решение:

    Сначала вычисляем катет, который расположен напротив острого угла 35⁰ . Для этого воспользуемся формулой:

    $$ b = c \cdot \sin( \alpha ) $$, где c – гипотенуза, b – искомый катет.

    При подстановке получим:

    $$ b = 12 \cdot sin (35^0) = 12 \cdot 0,574 = 6.883 см $$

    Исходя из того, что сумма углов любого треугольника $$180^0$$, а один из углов равен $$90^0$$, то второй острый угол равен $$ \beta = 180^0 - (90^0+35^0)=55^0 $$

    Тогда второй катет:

    $$ a= c \cdot \sin( \beta ) = 12 \cdot \sin( 55^0 )= 12 \cdot 0.819 = 9,83см $$

    Правильность полученного результата можно проверить, используя теорему Пифагора (сумма квадратов катетов рана квадрату гипотенузы):

    $$ 6.883^2+9.83^2 \approx 12^2 = 144 $$

    Ответ:

    $$ a = 9.83см, b = 6.883 см $$

  2. Угол меду сторонами треугольника 5 и 7 см составляет 68 градусов. Найдите его площадь.
    Посмотреть решение
    Решение:

    Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой:

    $$ S = a \cdot b \cdot \sin( \alpha ) $$, где $$a$$ и $$b$$ – две стороны треугольника, $$ \alpha $$ – угол между этими сторонами.

    Подставим значения:

    $$ S=5 \cdot 7 \cdot \sin( 68^0 ) = 32.45 см^2$$

    Ответ:

    $$ S = 32.45 см^2 $$

  3. Камень брошен со скоростью 10 м/с под углом 60 градусов к горизонту. Определите дальность полета камня, если сопротивлением воздуха можно пренебречь.
    Посмотреть решение
    Решение:

    Для вычисления дальности полета тела, брошенного под углом к горизонту (без учета сопротивления воздуха), применима формула:

    $$l = v^2 \cdot \frac{\sin(2 \cdot \alpha)}{g} $$, где $$l$$ – дальность полета тела, $$v$$ – начальная скорость, $$ \alpha $$ – угол, под которым тело, $$ g=9,81 м/с^2 $$ - ускорение свободного падения.

    Производим подстановку:

    $$ l = 10^2 \cdot \frac{ \sin(2 \cdot 60^0)}{9,81} = 8.83 м $$

    Ответ:

    $$ l = 8.83 м $$

  4. Сторона треугольника равна 16 см, а углы, примыкающие к ней 26 и 52⁰. Вычислите стороны треугольника.
    Посмотреть решение
    Решение:

    Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов:

    $$ \sin( \alpha ) = \frac{b}{ \sin( \beta ) } = \frac{c}{ \sin( \gamma ) } $$ где $$ a $$, $$b$$, $$c$$ – стороны треугольника, а $$\alpha$$, $$\beta$$, $$\gamma$$ – соответствующие противолежащие им углы.

    Пусть $$a=16$$ см, тогда угол $$ \beta=26^0$$, $$\gamma=52^0$$, как прилежащие. Поскольку сумма углов треугольника составляет $$180^0$$, то

    $$ \alpha = 180^0 - ( \beta + \gamma) = 180^0 - (26^0 + 52^0) =102^0 $$

    Применим теорему синусов и найдем сторону b:

    $$ a \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} $$

    $$ \frac{16}{\sin(102^0)} = \frac{b}{sin(26^0)} $$

    $$ b = 16 \cdot \frac{\sin(26^0)}{\sin(102^0)} = 7.17 см $$

    Аналогично, сторону c:

    $$ \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{sin(\gamma)} $$

    $$ \frac{16}{\sin(102^0)} = \frac{c}{\sin(52^0)} $$

    $$ c=16 \cdot \frac{\sin(52^0)}{\sin(102^0)} = 12.89 см $$

    Ответ:

    $$ b = 7.17 см, c = 12.89 см $$

  5. Найти sin α, если противолежащий катет равен 10 см, а гипотенуза равна 15 см.
    Посмотреть решение
    Решение:

    По определению

    $$ sin \ \alpha = \frac{b}{c} $$

    $$ sin \ \alpha = \frac{10}{15} = 0.666 $$

    Значит, угол $$ \alpha = 42^{ \circ } $$.

    Ответ:

    $$ sin \ \alpha = 0.666 $$

  6. Найти sin α, если прилежащий катет равен 6 см, а гипотенуза равна 10 см.
    Посмотреть решение
    Решение:

    По формуле Пифагора найдем противолежащий катет треугольника:

    $$ b = \sqrt{ (c^2 - a^2) } $$

    $$ b = \sqrt{ (10^2 - 6^2) } = \sqrt{64} = 8 \ см $$

    По определению

    $$ sin \ \alpha = \frac{b}{c} $$

    $$ sin \ \alpha = \frac{8}{10} = 0.8 $$

    Значит, угол $$ \alpha = 54^{\circ} $$ .

    Ответ:

    $$ sin \ \alpha = 0.8 $$

  7. Найти sin α, если прилежащий катет равен 4 см, а противолежащий равен 3 см.
    Посмотреть решение
    Решение:

    По формуле Пифагора найдем гипотенузу треугольника:

    $$ c = \sqrt{ (a^2 + b^2) } $$

    $$ c = \sqrt{( 4^2 + 3^2 )} = \sqrt{25} = 5 \ см $$

    По определению

    $$ sin \ \alpha = \frac{b}{c} $$

    $$ sin \ \alpha = \frac{3}{5} = 0.6 $$

    Значит, угол $$ \alpha = 37^{\circ} $$ .

    Ответ:

    $$ sin \ \alpha = 0.6 $$

  8. Найти sin α, если противолежащий и прилежащий равны по 4 см.
    Посмотреть решение
    Решение:

    По формуле Пифагора найдем гипотенузу треугольника:

    $$ c = \sqrt{ (a^2 + b^2) } $$

    $$ c = \sqrt{( 4^2 + 4^2 )} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2} \ см $$

    По определению

    $$ sin \ \alpha = \frac{b}{c} $$

    $$ sin \ \alpha = \frac{4}{4 \sqrt{2}} = 0.7071 $$

    Значит, угол $$ \alpha = 45^{\circ} $$ .

    Ответ:

    $$ sin \ \alpha = 0.7071 $$

Попробуйте другие сервисы
История решений
  • Вычислить синус -0.15 градусов 22.02.2017 08:49:56
  • Вычислить синус 2.37 градусов 22.02.2017 08:48:49
  • Вычислить синус 35.3666 градусов 22.02.2017 08:29:54
  • Вычислить синус 35.6333 градусов 22.02.2017 08:27:11
  • Вычислить синус 0.5 градусов 22.02.2017 07:58:27

Написать нам

Оставить отзыв

Подтверждение

Теперь Вам нужно перейти в свою почту и подтвердить отправку отзыва