Найти площадь трапеции
Трапеция – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны, а две другие
непараллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а непараллельные – боковыми сторонами.
В любой трапеции середины оснований, пересечения диагоналей, пересечения продолжения боковых сторон лежат на одной прямой.
Существуют следующие виды трапеций (частные случаи):
- Равнобокая трапеция – трапеция, имеющая равные боковые стороны и углы при основаниях;
- Прямоугольная трапеция – трапеция, которая имеет прямой угол.
Площадь трапеции можно найти как произведение высоты на половину суммы оснований:
$$S = h \cdot {a + b \over 2}$$
- Найти площадь трапеции с высотой 5 и длинами оснований 7 и 11
Посмотреть решениеДано:
$$ | BC | = 7 $$
$$ | AD | = 11 $$
$$ h = 5 $$
Решение:$$ S = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (|BC| + |AD|) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (7 + 11) = 45 $$
Ответ:
$$ S = 45 $$
- Найти площадь трапеции, если длины оснований равны 6 и 8, длина боковой стороны равна 10, а угол между основанием и боковой стороной равен 60°.
Посмотреть решениеДано:
$$ | BC | = 6 $$
$$ | AD | = 8 $$
$$ | AB | = 8 $$
$$ \angle BAD = 60^{ \circ }$$
Решение:Предварительно вычислим высоту трапеции:
$$ h = |AB| \cdot sin \angle BAD = 10 \cdot sin 60^{ \circ } $$
Следовательно:
$$ S = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (|BC| + |AD|) = \frac{1}{2} \cdot 8.66 \cdot (6 + 18) = 60.62 $$
Ответ:
$$ S = 60.62 $$
- Найти площадь равнобокой трапеции, если ее периметр равен 40, длины оснований равны 12 и 8, а угол между основанием и боковой стороной равен 30°.
Посмотреть решениеДано:
$$ P = 40 $$
$$ | BC | = 8 $$
$$ | AD | = 12 $$
$$ | AB | = |CD| $$
$$ \angle BAD = 30^{ \circ } $$
Решение:
Предварительно вычислим длину боковой стороны трапеции:
$$ |AB| = \frac{ P - |BC| - |AD| }{2} = \frac{ 40 - 8 - 12}{2} = 10 $$
теперь найдем высоту трапеции:
$$ h = |AB| \cdot sin \angle BAD = 10 \cdot sin 30^{\circ} = 5 $$
Следовательно:
$$ S = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (|BC| + |AD|) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (8 + 12) = 50 $$
Ответ:
$$ S = 50 $$
- Найти площадь равнобокой трапеции, в которой боковая сторона равна 8. При этом, высота в два раза короче боковой стороны, боковая сторона в два раза короче короткого основания, а короткое основание в два раза короче длинного основания трапеции.
Посмотреть решениеДано:
$$ h = \frac{1}{2} \cdot |AB| $$
$$ | AB | = \frac{1}{2} \cdot |BC| $$
$$ | BC | = \frac{1}{2} \cdot |AD| $$
$$ | AB | = |CD| = 8 $$
Решение:
Предварительно вычислим длины оснований трапеции:
$$ |BC| = 2 \cdot |AB| = 16 $$
$$ |AD| = 2 \cdot |BC| = 32 $$
теперь найдем высоту трапеции:
$$ h = \frac{1}{2 } \cdot |AB| = 5 $$
Следовательно:
$$ S = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (|BC| + |AD|) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (16 + 32) = 96 $$
Ответ:
$$ S = 96 $$
- Основания трапеции равны 10 и 20, соответственно. Площадь трапеции равняется 60. Чему равна высота трапеции?
Посмотреть решениеДано:
$$ S = 60 $$
$$ | BC | = 10 $$
$$ | AD | = 20 $$
Решение:
Так как значения площади и длин оснований целочисленные значения, то можно предположить, что длина высоты тоже целое (точнее, натуральное) число.Подставляя последовательно в формулу вычисления площади трапеции
$$ S = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (|BC| + |AD|) = 15 \cdot h $$
различные значения высоты, получим:
$$ 60 = 15 \cdot 1 $$
$$ 60 = 15 \cdot 2 $$
$$ 60 = 15 \cdot 3 $$
$$ 60 = 15 \cdot 4 $$
Так как последнее равенство верное, то высота трапеции равняется 4
Ответ:
$$ h = 4 $$