Найти площадь поверхности правильной пирамиды
Площадь поверхности правильной пирамиды находится через апофему L.
Необходимо вычислить площадь боковой поверхности правильной пирамиды, а также площадь основания, которое является правильным многоугольником.
n - число сторон правильного многоугольника - основания правильной пирамиды
a - длина стороны основания
L - апофема
Формула нахождения площади поверхности правильной пирамиды:
$$S = {1 \over 2} \cdot n \cdot a \cdot L + { n \cdot a^2 \over 4 \cdot \tan \left( {360 \over 2 \cdot n}\right)}$$
- Найдите площадь поверхности пирамиды, если площадь основания равна 15см², а площадь боковой поверхности равна 5см².
Посмотреть решениеДано:
$$ So = 15 \ см^2 $$
$$ Sb = 5 \ см^2 $$
Решение:Зная площадь основания и площадь боковой поверхности пирамиды, найдем общую площадь:
$$ Sp = Sb + So $$
$$ Sp = 15 + 5 = 20 \ см^2 $$
Ответ:
$$ Sp = 20 \ см^2 $$
- Найдите площадь поверхности пирамиды, если площадь основания равна 17см², апофема равна 5 см, а периметр основания 8 см.
Посмотреть решениеДано:
$$ So = 17 \ см^2 $$
$$ P = 8 \ cм $$
$$ a = 5 \ cм $$
Решение:$$ Sb = P \cdot \frac{a}{2} = 20 см^2 $$
По формуле площади поверхности правильной пирамиды находим площадь:
$$ Sp = Sb + So $$
$$ Sp = 17 + 20 = 37 \ см^2 $$
Ответ:
$$ Sp = 37 \ см^2 $$
- Найдите площадь поверхности пирамиды, если объем пирамиды равен 7 см³, а высота, проведенная к основанию, 3 см.
Посмотреть решениеДано:
$$ V = 7 \ см^3 $$
$$ h = 3 \ cм $$
Решение:Зная объем пирамиды, находим ее площадь:
$$ V = S \cdot \frac{h}{3} $$
$$ S = 3 \cdot \frac{V}{h} = 7 \ см^2 $$
Ответ:
$$ Sp = 7 \ см^2 $$
- Найдите площадь поверхности пирамиды, если ее апофема равна 6 см, а основании лежит правильный четырехугольник, площадь которого равна 16 см².
Посмотреть решениеДано:
$$ a = 6 \ см $$
$$ So = 16 \ cм^2 $$
Решение:Из формулы площади основания найдем сторону основания b:
$$ So = b^2 $$
$$ b= \sqrt{So} $$
$$ b = 4 \ см $$
Найдем периметр основания:
$$ P = 4 \cdot b = 16 \ см $$
Найдем площадь поверхности пирамиды:
$$ S = So + Sb = So + P \cdot \frac{a}{2} $$
Боковая площадь:
$$ Sb = P \cdot \frac{a}{2} = 16 \cdot \frac{6}{2} = 48 см^2 $$
$$ S = 48 + 16 = 64 см^2 $$
Ответ:
$$ Sp = 64 \ см^2 $$
- Найдите площадь поверхности пирамиды, если площадь ее основания равна 20 см², ребро боковой грани b = 10 см, основание боковой грани c = 10 см.
Посмотреть решениеДано:
$$So = 20 см^2 $$
$$ b = 10 см $$
$$ c = 10 см $$
Решение:Зная, что апофема - это перпендикуляр опущенный из вершины грани, по формуле Пифагора найдем перпендикуляр равностороннего треугольника в основании:
$$ a = \sqrt{ (b^2 - \left(\frac{c}{2} \right)^2 ) } $$
$$ a = \sqrt{ (100-25) } = 5 \sqrt{3} $$
Найдем периметр основания равностороннего треугольника:
$$ P = 3 \cdot b = 30 \ см $$
Найдем площадь боковой поверхности пирамиды:
$$ Sb = P \cdot \frac{a}{2} = 30 \cdot \frac{ 5 \sqrt{3} }{2} = 75 \sqrt{3}$$
Найдем площадь поверхности пирамиды:
$$ S = So + Sb $$
$$ S = 20 + 75\sqrt{3} \ см^2 $$
Ответ:
$$ Sp = 149.9 \ см^2 $$