Найти площадь поверхности эллипсоида
Эллипсоид — поверхность в трёхмерном пространстве, полученная деформацией сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей.
Величины a, b, c - полуоси эллипсоида.
Приближенная формула вычисления площади поверхности эллипсоида:
$$ S \approx 4 \cdot \pi \cdot \left[ { a^p \cdot b^p + a^p \cdot c^p + b^p \cdot c^p \over 3} \right]^{1 \over p}$$$$ p = 1.6075$$
- Найдите площадь поверхности эллипсоида, если каждая полуось равна по 1 см.
Посмотреть решениеДано:
$$ a = 1 \ см $$
$$ b = 1 \ см $$
$$ c = 1 \ см $$
$$ p = 1.6 $$
Решение:
По формуле для площади поверхности эллипсоида:
$$ S = 4 \cdot \pi \left( \frac{ (a \cdot b )^p + (a \cdot c)^p + (c \cdot b)^p }{ 3 } \right)^{ \frac{1}{p} } $$
$$ S = 4 \cdot \pi = 12.57^2 $$
Ответ:$$ S = 4 \cdot \pi = 12.57^2 $$
- Найдите площадь поверхности эллипсоида, если в горизонтальную плоскость эллипсоида вписан ромб площадью 10 см², одна из горизонтальных полуосей равна 5 см, а вертикальная полуось равна 4 см.
Посмотреть решениеДано:
$$ a = 5 \ см $$
$$ c = 4 \ см $$
$$ Sp = 10 \ см^2 $$
$$ p = 1.6 $$
Решение:
Диагонали ромба являются большими осями эллипса. Зная, что:
$$ Sp = \frac{ d_1 \cdot d_2 }{2} $$
выразим произведение больших осей эллипса через площадь ромба:
$$ a \cdot b = 2 \cdot Sp = 2 \cdot 10 = 20 см^2 $$
Тогда произведение полуосей ромба:
$$ \frac{a \ cdot b}{4} = \frac{20}{4} = 5 \ см^2 $$
Так как $$ a=5 \ см $$, то $$ b=1 \ см $$.
По формуле для площади поверхности эллипсоида:
$$ S = 4 \cdot \pi \left( \frac{ (a \cdot b )^p + (a \cdot c)^p + (c \cdot b)^p }{ 3 } \right)^{ \frac{1}{p} } $$
$$ S = 4 \cdot \pi \left( \frac{ ( 5 )^p + ( 20 )^p + ( 4 )^p }{ 3 } \right)^{ \frac{1}{p} } $$
$$ S=140.87 / см^2 $$
Ответ:$$ S=140.87 / см^2 $$
- Найдите площадь поверхности эллипсоида, если вертикальная ось в два раза больше чем горизонтальные, равные по 4см.
Посмотреть решениеДано:
$$ 2a = 4 \ см $$
$$ 2b = 4 \ см $$
$$ p = 1.6 $$
Решение:
Найдем вертикальную полуось:
$$ 2c = 2 \cdot 2a = 8 см $$
$$ c = \frac{8}{2} = 4 \ см $$
Найдем горизонтальные полуоси:
$$a = 2 \ см$$
$$ b=2 \ см $$
По формуле для площади поверхности эллипсоида:
$$ S = 4 \cdot \pi \left( \frac{ (a \cdot b )^p + (a \cdot c)^p + (c \cdot b)^p }{ 3 } \right)^{ \frac{1}{p} } $$
$$ S=85.86 / см^2 $$
Ответ:$$ S=85.86 / см^2 $$
- Найдите площадь поверхности эллипсоида, если вертикальная ось в три раза меньше чем сумма горизонтальных осей, равных по 6см.
Посмотреть решениеДано:
$$ 2a = 6 \ см $$
$$ 2b = 6 \ см $$
$$ p = 1.6 $$
Решение:
Найдем вертикальную полуось эллипсоида:
$$ 2c = \frac{ 2a + 2b }{3} = 4 \ см $$
$$ c = \frac{4}{2} = 2 \ см $$
$$a = 3 \ см$$
$$ b = 3 \ см $$
По формуле для площади поверхности эллипсоида:
$$ S = 4 \cdot \pi \left( \frac{ (a \cdot b )^p + (a \cdot c)^p + (c \cdot b)^p }{ 3 } \right)^{ \frac{1}{p} } $$
$$ S=89.03 / см^2 $$
Ответ:$$ S=89.03 / см^2 $$