Вычисление площади

Найти площадь поверхности эллипсоида

Пример решили: 644 раза Сегодня решили: 0 раз
Введите длины полуосей эллипсоида

Вычисление площади поверхности эллипсоида

Эллипсоид — поверхность в трёхмерном пространстве, полученная деформацией сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей.
Величины a, b, c - полуоси эллипсоида.

Площадь поверхности эллипсоида

Приближенная формула вычисления площади поверхности эллипсоида:

$$ S \approx 4 \cdot \pi \cdot \left[ { a^p \cdot b^p + a^p \cdot c^p + b^p \cdot c^p \over 3} \right]^{1 \over p}$$

$$ p = 1.6075$$

Примеры решений
  1. Найдите площадь поверхности эллипсоида, если каждая полуось равна по 1 см.
    Посмотреть решение

    Дано:

    $$ a = 1 \ см $$

    $$ b = 1 \ см $$

    $$ c = 1 \ см $$

    $$ p = 1.6 $$

    Решение:

    По формуле для площади поверхности эллипсоида:

    $$ S = 4 \cdot \pi \left( \frac{ (a \cdot b )^p + (a \cdot c)^p + (c \cdot b)^p }{ 3 } \right)^{ \frac{1}{p} } $$

    $$ S = 4 \cdot \pi = 12.57^2 $$

    Ответ:

    $$ S = 4 \cdot \pi = 12.57^2 $$

  2. Найдите площадь поверхности эллипсоида, если в горизонтальную плоскость эллипсоида вписан ромб площадью 10 см², одна из горизонтальных полуосей равна 5 см, а вертикальная полуось равна 4 см.
    Посмотреть решение

    Дано:

    $$ a = 5 \ см $$

    $$ c = 4 \ см $$

    $$ Sp = 10 \ см^2 $$

    $$ p = 1.6 $$

    Решение:

    Диагонали ромба являются большими осями эллипса. Зная, что:

    $$ Sp = \frac{ d_1 \cdot d_2 }{2} $$

    выразим произведение больших осей эллипса через площадь ромба:

    $$ a \cdot b = 2 \cdot Sp = 2 \cdot 10 = 20 см^2 $$

    Тогда произведение полуосей ромба:

    $$ \frac{a \ cdot b}{4} = \frac{20}{4} = 5 \ см^2 $$

    Так как $$ a=5 \ см $$, то $$ b=1 \ см $$.

    По формуле для площади поверхности эллипсоида:

    $$ S = 4 \cdot \pi \left( \frac{ (a \cdot b )^p + (a \cdot c)^p + (c \cdot b)^p }{ 3 } \right)^{ \frac{1}{p} } $$

    $$ S = 4 \cdot \pi \left( \frac{ ( 5 )^p + ( 20 )^p + ( 4 )^p }{ 3 } \right)^{ \frac{1}{p} } $$

    $$ S=140.87 / см^2 $$

    Ответ:

    $$ S=140.87 / см^2 $$

  3. Найдите площадь поверхности эллипсоида, если вертикальная ось в два раза больше чем горизонтальные, равные по 4см.
    Посмотреть решение

    Дано:

    $$ 2a = 4 \ см $$

    $$ 2b = 4 \ см $$

    $$ p = 1.6 $$

    Решение:

    Найдем вертикальную полуось:

    $$ 2c = 2 \cdot 2a = 8 см $$

    $$ c = \frac{8}{2} = 4 \ см $$

    Найдем горизонтальные полуоси:

    $$a = 2 \ см$$

    $$ b=2 \ см $$

    По формуле для площади поверхности эллипсоида:

    $$ S = 4 \cdot \pi \left( \frac{ (a \cdot b )^p + (a \cdot c)^p + (c \cdot b)^p }{ 3 } \right)^{ \frac{1}{p} } $$

    $$ S=85.86 / см^2 $$

    Ответ:

    $$ S=85.86 / см^2 $$

  4. Найдите площадь поверхности эллипсоида, если вертикальная ось в три раза меньше чем сумма горизонтальных осей, равных по 6см.
    Посмотреть решение

    Дано:

    $$ 2a = 6 \ см $$

    $$ 2b = 6 \ см $$

    $$ p = 1.6 $$

    Решение:

    Найдем вертикальную полуось эллипсоида:

    $$ 2c = \frac{ 2a + 2b }{3} = 4 \ см $$

    $$ c = \frac{4}{2} = 2 \ см $$

    $$a = 3 \ см$$

    $$ b = 3 \ см $$

    По формуле для площади поверхности эллипсоида:

    $$ S = 4 \cdot \pi \left( \frac{ (a \cdot b )^p + (a \cdot c)^p + (c \cdot b)^p }{ 3 } \right)^{ \frac{1}{p} } $$

    $$ S=89.03 / см^2 $$

    Ответ:

    $$ S=89.03 / см^2 $$

Попробуйте другие сервисы

Написать нам

Оставить отзыв

Подтверждение

Теперь Вам нужно перейти в свою почту и подтвердить отправку отзыва