Найти площадь эллипса
Эллипс – это геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний для
двух фиксированных точек, называемых фокусами, является постоянной.
Частным случаем эллипса является окружность.
Уравнение эллипса в декартовой системе координат:
$${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1$$Площадь эллипса вычисляется по формуле:
$$S= a \cdot b \cdot \pi$$
- Найти площадь эллипса, у которого малая полуось равна 10 см и большая полуось равна 20 см.
Посмотреть решениеДано:$$ a = 10 \ см $$
$$ b = 20 \ см $$
Решение:$$ S = a \cdot b \cdot \pi $$
$$ S = 10 \cdot 20 \cdot \pi = 628.32 \ см^2 $$
Ответ:$$ S = 628.32 см^2 $$
- Найти площадь эллипса, если его малая ось равна 14 см, большая ось равна 20 см.
Посмотреть решениеДано:$$ a_1 = 14 \ см $$
$$ b_1 = 20 \ см $$
Решение:Найдем большую и малую полуось эллипса:
$$ a= \frac{a_1}{2}= \frac{14}{2} = 7 \ см $$
$$ b = \frac{b_1}{2} = \frac{20}{2} = 10 \ см $$
Найдем площадь эллипса:
$$ S = a \cdot b \cdot \pi $$
$$ S = 7 \cdot 10 \cdot \pi = 219.91 \ см^2 $$
Ответ:$$ S = 219.91 см^2 $$
- В эллипс вписан ромб так, что вершины эллипса совпадают с вершинами ромба. Найти площадь эллипса, если площадь ромба равна 20 см²
Посмотреть решениеДано:$$ Sp = 20 \ см $$
Решение:Диагонали ромба являются большими осями эллипса. Зная, что:
$$ Sp = \frac{ (d_1 \cdot d_2) }{2} $$
Выразим произведение больших осей эллипса через площадь ромба:
$$ a \cdot b = 2 \cdot Sp = 2 \cdot 20 = 40 см^2 $$
Тогда произведение полуосей ромба:
$$ \frac{(a \cdot b)}{4} = \frac{40}{4} = 10 \ см^2 $$
Находим площадь эллипса:
$$ S = a \cdot b \cdot \pi $$
$$ S = 10 \cdot \pi = 31.4 см^2 $$
Ответ:$$ S = 31.4 см^2 $$
- Расстояние между большой и малой вершиной эллипса равно 5 см. Известно, что большая полуось эллипса больше малой на 1 см. Найти площадь эллипса.
Посмотреть решениеДано:$$ R=5 \ см $$
$$ a=b+1 $$
Решение:Большая и малая полуоси пересекаются под прямым углом. Зная расстояние между их вершинами, по теореме Пифагора найдем полуоси:
$$ R^2 = b^2 + (b+1)^2 $$
$$ 2 \cdot b^2 + 2 \cdot b + 1 = 25 $$
$$ b=3 \ см $$
Тогда, a = 4 см
Находим площадь эллипса:
$$ S = a \cdot b \cdot \pi $$
$$ S= 3 \cdot 4 \cdot \pi = 37.70 \ см^2 $$
Ответ:$$ S = 37.70 \ см^2 $$
- Вершины эллипса касаются сторон описанного вокруг него прямоугольника со сторонами 10 см и 20 см. найти площадь эллипса.
Посмотреть решениеДано:$$ a_1 = 10 \ см $$
$$ b_1 = 20 \ см $$
Решение:Стороны прямоугольника, описанного вокруг эллипса и касающиеся его вершин, являются осями эллипса. Найдем полуоси эллипса:
$$ a = \frac{a_1}{2} = 5 \ см $$
$$ b= \frac{b_1}{2} = 10 \ см $$
Найдем площадь эллипса:
$$ S = a \cdot b \cdot \pi $$
$$ S = 5 \cdot 10 \cdot \pi = 157.08 см^2 $$
Ответ:$$ S = 157.08 см^2 $$