Вычисление площади

Найти площадь эллипса

Пример решили: 239 раз Сегодня решили: 1 раз
Введите длины полуосей

Вычисление площади эллипса по заданным полуосям

Эллипс – это геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний для двух фиксированных точек, называемых фокусами, является постоянной.
Частным случаем эллипса является окружность.

Площадь эллипса

Уравнение эллипса в декартовой системе координат:

$${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1$$

Площадь эллипса вычисляется по формуле:

$$S= a \cdot b \cdot \pi$$

Примеры решений
  1. Найти площадь эллипса, у которого малая полуось равна 10 см и большая полуось равна 20 см.
    Посмотреть решение
    Дано:

    $$ a = 10 \ см $$

    $$ b = 20 \ см $$

    Решение:

    $$ S = a \cdot b \cdot \pi $$

    $$ S = 10 \cdot 20 \cdot \pi = 628.32 \ см^2 $$

    Ответ:

    $$ S = 628.32 см^2 $$

  2. Найти площадь эллипса, если его малая ось равна 14 см, большая ось равна 20 см.
    Посмотреть решение
    Дано:

    $$ a_1 = 14 \ см $$

    $$ b_1 = 20 \ см $$

    Решение:

    Найдем большую и малую полуось эллипса:

    $$ a= \frac{a_1}{2}= \frac{14}{2} = 7 \ см $$

    $$ b = \frac{b_1}{2} = \frac{20}{2} = 10 \ см $$

    Найдем площадь эллипса:

    $$ S = a \cdot b \cdot \pi $$

    $$ S = 7 \cdot 10 \cdot \pi = 219.91 \ см^2 $$

    Ответ:

    $$ S = 219.91 см^2 $$

  3. В эллипс вписан ромб так, что вершины эллипса совпадают с вершинами ромба. Найти площадь эллипса, если площадь ромба равна 20 см²
    Посмотреть решение
    Дано:

    $$ Sp = 20 \ см $$

    Решение:

    Диагонали ромба являются большими осями эллипса. Зная, что:

    $$ Sp = \frac{ (d_1 \cdot d_2) }{2} $$

    Выразим произведение больших осей эллипса через площадь ромба:

    $$ a \cdot b = 2 \cdot Sp = 2 \cdot 20 = 40 см^2 $$

    Тогда произведение полуосей ромба:

    $$ \frac{(a \cdot b)}{4} = \frac{40}{4} = 10 \ см^2 $$

    Находим площадь эллипса:

    $$ S = a \cdot b \cdot \pi $$

    $$ S = 10 \cdot \pi = 31.4 см^2 $$

    Ответ:

    $$ S = 31.4 см^2 $$

  4. Расстояние между большой и малой вершиной эллипса равно 5 см. Известно, что большая полуось эллипса больше малой на 1 см. Найти площадь эллипса.
    Посмотреть решение
    Дано:

    $$ R=5 \ см $$

    $$ a=b+1 $$

    Решение:

    Большая и малая полуоси пересекаются под прямым углом. Зная расстояние между их вершинами, по теореме Пифагора найдем полуоси:

    $$ R^2 = b^2 + (b+1)^2 $$

    $$ 2 \cdot b^2 + 2 \cdot b + 1 = 25 $$

    $$ b=3 \ см $$

    Тогда, a = 4 см

    Находим площадь эллипса:

    $$ S = a \cdot b \cdot \pi $$

    $$ S= 3 \cdot 4 \cdot \pi = 37.70 \ см^2 $$

    Ответ:

    $$ S = 37.70 \ см^2 $$

  5. Вершины эллипса касаются сторон описанного вокруг него прямоугольника со сторонами 10 см и 20 см. найти площадь эллипса.
    Посмотреть решение
    Дано:

    $$ a_1 = 10 \ см $$

    $$ b_1 = 20 \ см $$

    Решение:

    Стороны прямоугольника, описанного вокруг эллипса и касающиеся его вершин, являются осями эллипса. Найдем полуоси эллипса:

    $$ a = \frac{a_1}{2} = 5 \ см $$

    $$ b= \frac{b_1}{2} = 10 \ см $$

    Найдем площадь эллипса:

    $$ S = a \cdot b \cdot \pi $$

    $$ S = 5 \cdot 10 \cdot \pi = 157.08 см^2 $$

    Ответ:

    $$ S = 157.08 см^2 $$

Попробуйте другие сервисы

Написать нам

Оставить отзыв

Подтверждение

Теперь Вам нужно перейти в свою почту и подтвердить отправку отзыва