Вычисление объема

Найти объем усеченной пирамиды

Пример решили: 2559 раз Сегодня решили: 5 раз
Введите высоту и площади оснований

Вычисление объема усеченной пирамиды

Усеченная пирамида образуется путем отсечения плоскостью, параллельной основанию, части пирамиды.
Основаниями усеченной пирамиды являются подобные многоугольники.

Объем усеченной пирамиды

Усеченная пирамида может быть правильной и неправильной.
Правильная усеченная пирамида образуется при сечении правильной пирамиды, а неправильная - при сечении произвольной пирамиды, которая не является правильной.

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты пирамиды на сумму площадей верхнего и нижнего основания, а также на квадратный корень из произведения оснований усеченной пирамиды.

Формула для вычисления объема усеченной пирамиды:

$$V = {1 \over 3} \cdot H \cdot (S_1 + \sqrt{S_1 \cdot S_2} + S_2)$$

Примеры решений
  1. Найдите объем усеченной пирамиды, если ее высота равна 2 см, площадь верхнего и нижнего оснований равны по 13 см²
    Посмотреть решение

    Дано:

    $$S_1=13 \ см^2$$

    $$S_2=13 \ см^2$$

    $$H=2 \ см$$

    Решение:

    По формуле для объема усеченной пирамиды:

    $$ V = \frac{ (H \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1} \cdot \sqrt{S_2} )) }{3} $$

    $$ V = \frac{ 2 \cdot (26 + \frac{169}) }{3} = 26 \ см^3 $$

    Ответ:

    $$ V=26 \ см^3 $$

  2. Найти объем усеченной пирамиды, если ее высота равна 6 см, площадь нижнего основания 8 см², а площадь верхнего основания 2 см².
    Посмотреть решение

    Дано:

    $$ H = 6 \ см $$

    $$ S_1 = 8 \ см^2 $$

    $$ S_2 = 2 \ см^2 $$

    Решение:

    По фомуле нахождения объема усеченной пирамиды:

    $$ V = \frac{ 1 }{ 3 } \cdot H \cdot (S_1 + \sqrt{ (S_1 \cdot S_2 ) } + S_2 ) $$

    $$ V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot (8 + \sqrt{(8*2)} + 2) = 2 \cdot 14 = 28 \ см^3$$

    Ответ:

    $$ V=28 \ см^3 $$

  3. Найти объем усеченной пирамиды, если ее высота равна12 см, площадь нижнего основания 12 см², а коэффициент подобия площади верхнего основания к нижнему равен 1/4.
    Посмотреть решение

    Дано:

    $$ H = 12 \ см $$

    $$ S_1 = 12 \ см^2 $$

    $$ k = \frac{1}{4} $$

    Решение:

    Найдем площадь верхнего основания:

    $$ S_2 = k \cdot S_1 $$

    $$ S_2 = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3 \ см^2 $$

    По фомуле нахождения объема усеченной пирамиды:

    $$ V = \frac{1}{3} \cdot H \cdot (S_1 + \sqrt{ (S_1 \cdot S_2) } + S_2) $$

    $$ V = \frac{1}{3 \cdot 12} \cdot (12 + \sqrt{ (12 \cdot 3) } + 3) = 4 \cdot 21 = 84 \ см^3 $$

    Ответ:

    $$ V=84 \ см^3 $$

  4. Найти объем усеченной пирамиды, если ее высота равна 3 см, нижнее основание - это прямоугольник, со сторонами 3 см и 4 см, а коэффициент подобия площади верхнего основания равен 1/4.
    Посмотреть решение

    Дано:

    $$ H = 3 \ см $$

    $$ a_1 = 3 \ см $$

    $$ b_1 = 4 \ см $$

    $$ k = \frac{1}{4} $$

    Решение:

    Найдем площадь нижнего основания:

    $$ S_1 = a \cdot b $$

    $$ S_1 = 3 \cdot 4 = 12 \ см^2 $$

    Найдем площадь верхнего основания:

    $$ S_2 = k \cdot S_1 $$

    $$ S_2 = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3 \ см^2 $$

    По фомуле нахождения объема усеченной пирамиды:

    $$ V = \frac{1}{3} \cdot H \cdot (S_1 + \sqrt{ (S_1 \cdot S_2) } + S_2) $$

    $$ V = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (12 + \sqrt{ (12 \cdot 3) } + 3) = 21 \ см^3$$

    Ответ:

    $$ V=21 \ см^3 $$

  5. Найти объем усеченной пирамиды, если ее высота равна 3 см, нижнее основание - это равносторонний треугольник со стороной 6√3 см, а верхнее основание - треугольник со стороной 4√3 см.
    Посмотреть решение

    Дано:

    $$ H = 3 \ см $$

    $$ a = 6 \sqrt{3} \ см $$

    $$ b = 4 \sqrt{3} \ см $$

    Решение:

    По формуле площади для равностороннего треугольника, найдем площадь нижнего основания:

    $$ S = \sqrt{ \frac{3}{4} } \cdot 4 \cdot a^2 = 27 \ см^2$$

    По формуле площади для равностороннего треугольника, найдем площадь верхнего основания:

    $$ S = \sqrt{ \frac{3}{4} } \cdot b^2 = 12 \ см^2 $$

    По фомуле нахождения объема усеченной пирамиды:

    $$ V = \frac{1}{3} \cdot H \cdot (S_1 + \sqrt{ (S_1 \cdot S_2) } + S_2) $$

    $$ V = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (12 + \sqrt{ (12 \cdot 27) } + 27) = 57 \ см^3$$

    Ответ:

    $$ V=57 \ см^3 $$

Попробуйте другие сервисы

Написать нам

Оставить отзыв

Подтверждение

Теперь Вам нужно перейти в свою почту и подтвердить отправку отзыва