Найти определитель матрицы методом Гаусса

Определитель матрицы (детерминант) - одно из основных понятий линейной алгебры.
Является многочленом от элементов квадратной матрицы.

Для вычисления определителя матрицы методом Гаусса необходимо привести матрицу к треугольному виду.

$$ A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{2n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{pmatrix} $$

Алгоритм заключается в следующем:

1. Разделим элементы каждой строки на первый элемент соответствующей строки:

   $$ |A| = \begin{pmatrix} 1 & {a_{12} \over a_{11}} & ... & {a_{1n} \over a_{11}} \\ 1 & {a_{22} \over a_{21}} & ... & {a_{2n} \over a_{21}} \\ ... & ... & ... & ... & \\ 1 & {a_{n2} \over a_{n1}} & ... & {a_{nn} \over a_{n1}} \end{pmatrix}$$

2. Вычтем из элементов всех строк, начиная со второй, элементы первой строки:

   $$ |A| = \begin{pmatrix} 1 & {a_{12} \over a_{11}} & ... & {a_{1n} \over a_{11}} \\ 0 & {a_{22} \over a_{21}} - {a_{12} \over a_{11}} & ... & {a_{2n} \over a_{21}}-{a_{1n} \over a_{11}} \\ ... & ... & ... & ... & \\ 0 & {a_{n2} \over a_{n1}}-{a_{12} \over a_{11}} & ... & {a_{nn} \over a_{n1}}-{a_{1n} \over a_{11}} \end{pmatrix}$$

3. Повторим данный алгоритм для внутренних строк. Продолжать будем до тех пор, пока размер конечной матрицы не станет размера 1x1:

Алгоритм вычисления определителя матрицы методом Гаусса имеет кубическую сложность - O(n³)