Составление уравнения плоскости
Данный онлайн-сервис поможет составить уравнение плоскости по трем координатам.
Между всеми плоскостями и линейными уравнениями первого порядка с координатами (x,y,z) существуют взаимно-однозначные соответствия: каждая плоскость описывается определённым уравнением и наоборот, каждое уравнение описывает плоскость, притом только одну.
Координаты трех точек, не лежащих на одной прямой:
$$ (x_1, \: y_1, \: z_1) \quad (x_2, \: y_2, \: z_2) \quad (x_3, \: y_3, \: z_3)$$
Изображение плоскости, построенной по трем заданным точкам:
Составим систему уравнений для плоскости, проходящей через три заданные точки:
$$ \begin{cases} A \cdot (x-x_1)+B \cdot (y-y_1)+C \cdot (z-z_1)=0 \\ A \cdot (x-x_2)+B \cdot (y-y_2)+C \cdot (z-z_2)=0 \\ A \cdot (x-x_3)+B \cdot (y-y_3)+C \cdot (z-z_3)=0 \end{cases} $$
В этой системе произвольная точка (x, y, z) удовлетворяет уравнению плоскости.
Определитель этой системы равен нулю:
$$ \begin{vmatrix} x-x_1 & x-x_2 & x-x_3 \\ y-y_1 & y-y_2 & y-y_3 \\ z-z_1 & z-z_2 & z-z_3 \end{vmatrix} = 0$$
- Дано три точки с координатами M(1;-2;0), K(2;0;-1), N(0;-1;2). Составьте уравнение плоскости, проходящей через эти точки.
Посмотреть решениеРешение:Общий вид уравнения плоскости A·x+B·y+C·z+D=0, чтобы его составить, необходимо найти коэффициенты A, B, C, D.
Составим определитель, который поможет их найти:
$$ \begin{pmatrix} x-x1 && x-x2 && x-x3 \\ y-y1 && y-y2 && y-y3 \\ z-z1 && z-z2 && z-z3 \end{pmatrix} = 0 $$Учитывая, что x1, x2, x3, y1, y2, y3, z1, z2, z3 – координаты точек M, K, N, подставим:
$$ \begin{pmatrix} x-1 && x-2 && x-0 \\ y+2 && y-0 && y+1 \\ z-0 && z+1 && z-2 \end{pmatrix} = 0$$
Решая определитель, получим: 5x-y+3z+7=0.
Ответ:$$ 5x-y+3z+7=0 $$
- Сторона основания правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 – квадрат со стороной 12 см. Ее высота равна 21 см. Точка М делит ребро АА1 так, что А1М= 13 см. Точка К делит ребро ВВ1 так что В1К=8 см. Составьте уравнение плоскости D1МК.
Посмотреть решениеРешение:Поместим призму в систему координат таким образом, чтобы ее начало находилось в точке А1. Тогда координаты точек, определяющих положение плоскости в пространстве, будут:
$$ D_1(0;12;0) $$
$$ M(0;0;13) $$
$$ K(12;0;8) $$
Составим определитель, позволяющий найти уравнение плоскости:
$$ \begin{pmatrix} x-0 && x-12 && x-0 \\ y-12 && y-0 && y-13 \\ z-0 && z-0 && z-8 \end{pmatrix} = 0$$
Расчет определителя дает результат:
$$ 5x+13y+12z-156=0 $$ - это и есть уравнение плоскости.
Ответ:$$ 5x+13y+12z-156=0 $$