Вычисление объема

Составление уравнения плоскости

Пример решили: 9546 раз Сегодня решили: 134 раза
Введите координаты точек



Составление уравнения плоскости

Данный онлайн-сервис поможет составить уравнение плоскости по трем координатам.

Между всеми плоскостями и линейными уравнениями первого порядка с координатами (x,y,z) существуют взаимно-однозначные соответствия: каждая плоскость описывается определённым уравнением и наоборот, каждое уравнение описывает плоскость, притом только одну.

Координаты трех точек, не лежащих на одной прямой:

$$ (x_1, \: y_1, \: z_1) \quad (x_2, \: y_2, \: z_2) \quad (x_3, \: y_3, \: z_3)$$

Изображение плоскости, построенной по трем заданным точкам:

Плоскость, построенная по трем точкам

Составим систему уравнений для плоскости, проходящей через три заданные точки:

$$ \begin{cases} A \cdot (x-x_1)+B \cdot (y-y_1)+C \cdot (z-z_1)=0 \\ A \cdot (x-x_2)+B \cdot (y-y_2)+C \cdot (z-z_2)=0 \\ A \cdot (x-x_3)+B \cdot (y-y_3)+C \cdot (z-z_3)=0 \end{cases} $$

В этой системе произвольная точка (x, y, z) удовлетворяет уравнению плоскости.
Определитель этой системы равен нулю:

$$ \begin{vmatrix} x-x_1 & x-x_2 & x-x_3 \\ y-y_1 & y-y_2 & y-y_3 \\ z-z_1 & z-z_2 & z-z_3 \end{vmatrix} = 0$$

Примеры решений
  1. Дано три точки с координатами M(1;-2;0), K(2;0;-1), N(0;-1;2). Составьте уравнение плоскости, проходящей через эти точки.
    Посмотреть решение
    Решение:

    Общий вид уравнения плоскости A·x+B·y+C·z+D=0, чтобы его составить, необходимо найти коэффициенты A, B, C, D.

    Составим определитель, который поможет их найти:
    $$ \begin{pmatrix} x-x1 && x-x2 && x-x3 \\ y-y1 && y-y2 && y-y3 \\ z-z1 && z-z2 && z-z3 \end{pmatrix} = 0 $$

    Учитывая, что x1, x2, x3, y1, y2, y3, z1, z2, z3 – координаты точек M, K, N, подставим:

    $$ \begin{pmatrix} x-1 && x-2 && x-0 \\ y+2 && y-0 && y+1 \\ z-0 && z+1 && z-2 \end{pmatrix} = 0$$

    Решая определитель, получим: 5x-y+3z+7=0.

    Ответ:

    $$ 5x-y+3z+7=0 $$

  2. Сторона основания правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 – квадрат со стороной 12 см. Ее высота равна 21 см. Точка М делит ребро АА1 так, что А1М= 13 см. Точка К делит ребро ВВ1 так что В1К=8 см. Составьте уравнение плоскости D1МК.
    Посмотреть решение
    Решение:

    Поместим призму в систему координат таким образом, чтобы ее начало находилось в точке А1. Тогда координаты точек, определяющих положение плоскости в пространстве, будут:

    $$ D_1(0;12;0) $$

    $$ M(0;0;13) $$

    $$ K(12;0;8) $$

    Составим определитель, позволяющий найти уравнение плоскости:

    $$ \begin{pmatrix} x-0 && x-12 && x-0 \\ y-12 && y-0 && y-13 \\ z-0 && z-0 && z-8 \end{pmatrix} = 0$$

    Расчет определителя дает результат:

    $$ 5x+13y+12z-156=0 $$ - это и есть уравнение плоскости.

    Ответ:

    $$ 5x+13y+12z-156=0 $$

Попробуйте другие сервисы

Написать нам

Оставить отзыв

Подтверждение

Теперь Вам нужно перейти в свою почту и подтвердить отправку отзыва