Вычисление объема

Нахождение расстояния от точки до плоскости

Пример решили: 1956 раз Сегодня решили: 30 раз
Введите координаты точки
Введите коэффициенты уравнения плоскости:

Нахождение расстояния от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости - это наименьшее расстояние между ними. Оно равно длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость.

Изображение расстояния от точки до плоскости:
Расстояние от точки до плоскости

Пусть плоскость задана уравнением:

$$A \cdot x + B \cdot y + C \cdot z + D = 0$$

Точка имеет координаты:

$$ (x_0;y_0;z_0) $$

Тогда расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле:

$$p = {A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D \over \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

Примеры решений
  1. Плоскость в пространстве задана уравнением 3x-4y+2z+5=0, найдите расстояние от нее до точки M(3;-2;6).
    Посмотреть решение
    Дано:

    $$ x_0 = 3, \quad y_0 = -2, \quad z_0 = 6 $$

    $$ A = 3, \quad B = -4, \quad C = 2, \quad D = 5 $$

    Решение:

    Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения расстояния от точки до плоскости, которое равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость:

    $$ p = {| A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D|} \over \sqrt{(A^2 + B^2 + C^2)} $$

    где A, B, C, D – коэффициенты уравнения плоскости, а x0, y0, z0 – координаты точки.

    Произведем подстановку:

    $$ \frac{|3 \cdot 3 + (-4) \cdot (-2)+2 \cdot 6 + 5 |}{ \sqrt{(3^2 + (-4)^2 + 2^2)} } = \frac{|9+8+12+5|}{\sqrt{(9+16+4)}} =6,314$$ (линейных единиц)

    Ответ:

    $$ R = 6,314 $$

  2. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром равным 1 см. Вычислите расстояние от точки А1 до плоскости, определяемой точками В, D и C1.
    Посмотреть решение
    Решение:

    Для решения задачи применим координатный метод. Начало системы координат расположим в точке А. Ось x совместим с ребром AD, ось у – с ребром АВ, ось z – с ребром АА1.

    Тогда координаты точки А1 (0;0;1), точек В (0; 1; 0), D (1; 0; 0), C1(1; 1; 1). Поставив в общее уравнение для плоскости A·x+B·y+C·z+D=0 координаты каждой из точек, получим систему из трех уравнений, решив которую найдем коэффициенты и уравнение плоскости x+y-z-1=0.

    Далее воспользуемся формулой для нахождения расстояния от точки до плоскости:

    $$ p = \frac{ |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ \sqrt{(A^2 + B^2 + C^2)} } $$, произведем подстановку:

    $$ p = \frac{ |1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 - 1| }{ \sqrt{(1+1+1)} } = 1,155 см$$

    Ответ:

    $$ R = 1,155 см $$

  3. Найдите расстояние то точки М (2;4;-7) до плоскости XOY.
    Посмотреть решение
    Решение:

    Уравнение плоскости XOY представляет собой частный случай, ее уравнение z=0. Применим формулу:

    $$ p = \frac{ | A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ (A^2 + B^2 + C^2) } $$ , где A=0, B=0, С=1, D=0, x0=2, y0=4, z0=-7.

    Произведем подстановку:

    $$ p = \frac{ |0 \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot (-7)) + 0| }{ \sqrt{(0^2 + 0^2 + 1^2)} } = 7$$

    Ответ:

    $$ R = 7$$

  4. Плоскость определяется репером из трех точек с координатами в прямоугольной системе А1 (0;2;1), В1(2;6;1), С1(4;0;-1). Определите, на каком расстоянии от нее находится точка с координатами М (5;-3;10).
    Посмотреть решение
    Решение:

    Для того чтобы определить расстояние от точки до плоскости воспользуемся формулой

    $$ p= \frac{ |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ sqrt{ (A^2 + B^2 + C^2) } } $$

    Чтобы воспользоваться нею, необходимо вывести уравнение плоскости, определенной точками А1, В1 и С1. Общий вид этого уравнения A·x+B·y+C·z+D=0. Воспользовавшись одним из методов выведения уравнения плоскости (система уравнений с координатами точек или определитель) находим уравнение плоскости, получим $$2x-y+5z-3=0$$.

    Подставим полученные коэффициенты уравнения и координаты точки в формулу:

    $$ p = \frac{ |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ \sqrt{ (A^2 + B^2 + C^2) } } = \frac{ |2 \cdot 5 - (-3) + 5 \cdot 10 - 3|}{ \sqrt{ (2^2 + (-1)^2 + 5^2) } } = 10,95 $$

    Ответ:

    $$ R = 10,95 $$

  5. Найдите расстояние от плоскости 4x-6y-4z+7=0 до начала системы координат точки О.
    Посмотреть решение
    Дано:

    $$ x_0 = 0, \quad y_0 = 0, \quad z_0 = 0 $$

    $$ A = 4, \quad B = -6, \quad C = -4, \quad D = 7 $$

    Решение:

    Координаты начала системы координат О(0;0;0). Воспользуемся формулой:

    $$ p= \frac{ |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ sqrt{ (A^2 + B^2 + C^2) } } $$ Для плоскости $$4x-6y-4z+7=0$$,

    $$ A=4, $$
    $$ B=-6, $$
    $$ C=-4, $$
    $$ D=7. $$

    Подставим значения:

    $$ p = \frac{ |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ \sqrt{ (A^2 + B^2 + C^2) } } = \frac{ |4 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 7|}{ \sqrt{ (4^2 + (-6)^2 + (-4)^2) } } = 0,85 $$

    Ответ:

    $$ R = 0,85 $$

Попробуйте другие сервисы

Написать нам

Оставить отзыв

Подтверждение

Теперь Вам нужно перейти в свою почту и подтвердить отправку отзыва