Решение системы уравнений методом Крамера

Метод Крамера - способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы.

Рассмотрим алгоритм метода Крамера для решения системы уравнений с тремя неизвестными:

$$\begin{cases} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + a_{13} \cdot x_3 = b_1 \\ a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + a_{23} \cdot x_3 = b_2 \\ a_{31} \cdot x_1 + a_{32} \cdot x_2 + a_{33} \cdot x_3 = b_3 \end{cases} $$

1. Вычислим основной определитель матрицы $$ \Delta $$:
   
   

   $$ \Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$

2. Вычислим определитель матрицы $$ \Delta_1 $$:
   
   

   $$ \Delta_1 = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$

3. Вычислим определитель матрицы $$ \Delta_2 $$:
   
   

   $$ \Delta_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \end{vmatrix}$$

4. Вычислим определитель матрицы $$ \Delta_3 $$:
   
   

   $$ \Delta_3 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \end{vmatrix}$$

5. Найдем корни уравнения x₁, x₂, x₃:
   
   

   $$x_1 = {\Delta_1 \over \Delta} \quad x_2 = {\Delta_2 \over \Delta} \quad x_3 = {\Delta_3 \over \Delta}$$