Обратная матрица

Данный сервис позволяет вычислить обратную матрицу.

Матрицей, обратной к данной квадратной матрице А, называется матрица тех же размеров, которая при умножении на исходную матрицу А, как слева, так и справа, даёт в результате единичную матрицу E.

$$ A^{-1}_{n \times n} \cdot A_{n \times n} = E_{n \times n} $$

Обратная матрица может быть получена по формуле:

$$ A^{-1} = \frac{1}{det A} \cdot (A^V)^T $$

det A - определитель квадратной матрицы А.

матрица $$ A^V $$ - присоединённая к матрице A, которая состоит из алгебраических дополнений, соответствующих элементов матрицы А.

$$ A^V = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & ... & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & ... & A_{2n} \\ A_{n1} & A_{n2} & ... & A_{nn} \end{pmatrix} A_{ij} - алг. доп. aij$$

Матрица $$ (A^V)^T $$ - транспонированная матрица относительно $$ A^V $$.

1) $$ det A = \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = -2 $$, определитель матрицы не равен нулю, следовательно обратная матрица существует.

2) Найти алгебраические дополнения:

$$ A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot |-4| = -4 $$

$$ A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot | 3 | = -3$$

$$ A_{21} = (-2)^{2+1} \cdot | 2 | = -2 $$

$$ A_{22} = (-1)^{2+2} \cdot |-1| = -1 $$

3) $$ A^V = \begin{vmatrix} -4 & -3 \\ -2 & -1 \end{vmatrix}$$

4) $$ (A^V)^T = \begin{vmatrix} -4 & -2 \\ -3 & -1 \end{vmatrix}$$

5) $$ A^{-1} = - \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} -4 & -2 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{vmatrix}$$