Алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнением элемента $$a_{ij}$$ называют его минор матрицы, взятый с определенным знаком. Знак определяется при помощи возведения -1 в степень, которая равна сумме номера столбца и номера строки элемента.

$$ A_{ij}=(-1)^{i+j} \cdot M_{ij} $$

Например:

$$ A = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$

Алгебраическое дополнение элемента $$ a_{23} $$:

$$ A_{23} = (-1)^{2+3} \cdot M_{23} $$

Минор вычисляется следующим образом:

$$ M_{23} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} = ( a_{11} \cdot a_{32} - a_{31} \cdot a_{12}) $$

Следовательно:

$$ A_{23} = (-1) \cdot M_{23} = (-1) \cdot ( a_{11} \cdot a_{32} - a_{31} \cdot a_{12})$$