Вычисление производных
Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке, x - точка этого промежутка и число h ≠ 0 такое, что x + h так же принадлежит данному промежутку. Тогда предел разностного отношения
$$ {f(x + h) - f(x) \over h } \quad $$ при $$ \quad h \rightarrow 0$$
(если этот предел существует) называется производной функции f(x) в точке x и обозначается f'(x). Таким образом,
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over h} $$
Отметим, что в формуле производной число h, где h≠0, может быть как положительным, так и отрицательным, при этом число x + h должно принадлежать промежутку на котором определена функция f(x).
Если функция f(x) имеет производную в точке x, то эта функция называется дифференциируемой в этой точке.
Если функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что эта функция дифференцируема на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции f(x) в точке x равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке (x; f(x)).
- Найдите производную функции y=5x-6
Посмотреть решениеРешение:Для поиска производной воспользуемся производной суммы.
$$ y'=(5x-6)'=(5x)'+(-6)' $$
с учетом того, что производная от постоянной равна нулю, а производная от функции
$$y=Cx=C$$, получим:
$$ y'=(5x)'+(-6)'=5 $$
Ответ:$$ y'= 5 $$
- Определите производную функции $$ y=4x^3 - \frac{2}{\sqrt{x+cos(x)}} $$ .
Посмотреть решениеРешение:$$ y'= \left(4x^3 - \frac{2}{\sqrt{x+cos(x)}} \right)' $$
$$ y'=(5x-6)'=(5x)'+(-6)' $$
Для определения производства воспользуемся правилом определения суммы функций:
$$ y' = (4x^3)' - \left( \frac{2}{x} \right)' + (cos(x))' $$
Найдем каждую из производных по отдельности:
Сначала используем производную степенной функции:
$$ (4x^3)' = 12x^2 ;$$
$$ \left( \frac{2}{\sqrt{x}} \right)' = 2 \cdot \frac{1}{(2\sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x}}; $$
Затем производную тригонометрической функции cos:
$$ (cos(x))'=-sin(x) $$
Получим:
$$ y' = 12x^2 - \frac{1}{\sqrt{x}} - sin(x) $$.
Ответ:$$ y' = 12x^2 - \frac{1}{\sqrt{x}} - sin(x) $$
- Найти производную функции $$ y=x^2 \cdot arctg(x) $$.
Посмотреть решениеРешение:Воспользуемся правилом для нахождения производной произведения функций $$(vu)'=v'u+uv'$$ :
$$ y' = (x^2)' \cdot arctg(x)+(arctg(x))' \cdot x^2 = 2x \cdot arctg(x) + \frac{1}{1+x^2} = 2x \cdot arctg(x) + \frac{x^2}{(1+x^2)} $$
Ответ:$$ 2x \cdot arctg(x) + \frac{x^2}{(1+x^2)} $$
- Найти производную функции $$ y= 6 \cdot \frac{(2x+5)}{3x^2+1} $$.
Посмотреть решениеРешение:Чтобы определить производную в данном примере необходимо воспользоваться правилом для определения производной частного двух функций $$(vu)'=v'u- \frac{uv'}{v^2}$$:
$$ y' = (6 \cdot \frac{(2x+5)}{(3x^2+1)})'=\frac{ 6 \cdot ((2x+5)' \cdot (3x^2 + 1) - (2x + 5) \cdot (3x^2 + 1)') }{ (3x^2 + 1)^2 } $$
$$ y' = \frac{6 \cdot (2 \cdot (3x^2 + 1) - (2x + 5) \cdot 6x)}{(3x^2 + 1)^2} $$
$$ y' = \frac{ 12 \cdot ((3x^2 + 1) - (6x^2 + 15)) }{(3x^2 + 1)^2} $$
$$ y' = \frac{ 12 \cdot (-3x^2 - 15x + 1) }{(3x^2 + 1)^2 } $$
Ответ:$$ y' = \frac{ 12 \cdot (-3x^2 - 15x + 1) }{(3x^2 + 1)^2 } $$
- Найдите производную функции $$ y= \frac{ (2x^3-3x^2+7) }{x} $$.
Посмотреть решениеРешение:$$ y = \frac{2x^3}{x} - \frac{3x^2}{x} + \frac{7}{x} = 2x^2 - 3x + \frac{7}{x} $$
$$ y' = (2x^2 - 3x + \frac{7}{x})' $$
$$ y' = (2x^2)' - (3x)' + (\frac{7}{x})' $$
$$ y' = 4x-3- \frac{7}{x^2} $$
Ответ:$$ y' = 4x-3- \frac{7}{x^2} $$
- Найдите производную функции $$ y=sin(12x-5) $$
Посмотреть решениеРешение:Данная функция является сложной, поэтому, сначала берем производную от внешней функции, и умножаем на производную от внутренней функции:
$$ y' = (sin(12x-5))' $$
$$ y' = sin'(12x-5) \cdot (12x-5)' $$
$$ y' = cos(12x-5) \cdot 12 = 12 cos(12x-5) $$
Ответ:$$ y' = cos(12x-5) \cdot 12 = 12 cos(12x-5) $$
- Определите двойную производную от функции $$ y=3x^3+5x^2-11x+6 $$
Посмотреть решениеРешение:Данная функция является сложной, поэтому, сначала берем производную от внешней функции, и умножаем на производную от внутренней функции:
$$ y'=(3x^3 + 5x^2 - 11x + 6)' = (3x^3)' + (5x^2)' - (11x)' + (6)' ; $$
$$ y' = 9x^2 + 10x - 11 $$
После этого из полученной функции берем еще одну производную:
$$ y''= ( 3x^3 + 5x^2 - 11x + 6 )'' = (9x^2 + 10x - 11)' = (9x^2)' + (10x)' - (11)'; $$
$$ y'' = 18x + 10 $$
Ответ:$$ y'' = 18x + 10 $$
- Найдите производную функции $$ y=cos(x)-3^x $$
Посмотреть решениеРешение:Используем формулы для нахождения производной от косинуса и показательной функции:
$$ y' = (cos(x))' - (3^x)' $$
$$ y' = -sin(x) - (3^x \cdot ln3) $$
Ответ:$$ y' = -sin(x) - (3^x \cdot ln3) $$
- Найдите производную функции $$ y=\frac{1}{arcsin^2x} $$
Посмотреть решениеРешение:Имеем сложную функцию, где вложенной функцией является arcsin x:
$$ y' = (\frac{1}{ arcsin^2x })' = ( \frac{-2}{arcsin^3 x} ) \cdot ( arcsin x )$$
$$ y' = ( \frac{-2}{arcsin^3 x} ) \cdot \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)} } $$
Ответ:$$ y' = ( \frac{-2}{arcsin^3 x} ) \cdot \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)} } $$
- Найти производную $$ y=ln^2(3x-5) $$
Посмотреть решениеРешение:Для того, чтобы найти решение, сначала определим производную $$y=x^2$$, а затем производную внутренней функции $$3x-5$$ и перемножим их:
$$ y' = (ln^2(3x-5))' $$
$$ y' = 2 \cdot ln(3x-5) \cdot (3x-5)' $$
$$ y' = 2 \cdot ln(3x-5) \cdot 3 $$
$$ y' = 6 \cdot ln(3x-5)$$
Ответ:$$ y' = 6 \cdot ln(3x-5)$$