Вычисление площади

Вычисление производных

Пример решили: 10287 раз Сегодня решили: 0 раз
Введите выражение для вычисления производной

Идет вычисление
Таблица синтаксиса
Скрыть таблицу
Таблица синтаксиса
Sin(x) Синус (x)
Cos(x) Косинус (x)
Tan(x) Тангенс (x)
Cotan(x) Тангенс (x)
Sec(x) Секанс (x)
Csc(x) Косеканс (x)
Arcsin(x) Арксинус (x)
Arccos(x) Арккосинус (x)
Arctan(x) Арктангенс (x)
Arcsec(x) Арксеканс (x)
Arccosec(x) Арккосеканс (x)
Log(x) Логарифм (x) по основанию e
Lg(x) Логарифм (x) по основанию 10
Log[a,x] Логарифм (x) по основанию a
x^a X в степени a = x^a
abs(x) Модуль x = (|x|)
Sqrt(x) Корень из x
Вычисление производной

Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке, x - точка этого промежутка и число h ≠ 0 такое, что x + h так же принадлежит данному промежутку. Тогда предел разностного отношения

$$ {f(x + h) - f(x) \over h } \quad $$ при $$ \quad h \rightarrow 0$$

(если этот предел существует) называется производной функции f(x) в точке x и обозначается f'(x). Таким образом,

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over h} $$

Отметим, что в формуле производной число h, где h≠0, может быть как положительным, так и отрицательным, при этом число x + h должно принадлежать промежутку на котором определена функция f(x).

Если функция f(x) имеет производную в точке x, то эта функция называется дифференциируемой в этой точке.

Если функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что эта функция дифференцируема на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции f(x) в точке x равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке (x; f(x)).

Примеры решений
  1. Найдите производную функции y=5x-6
    Посмотреть решение
    Решение:

    Для поиска производной воспользуемся производной суммы.

    $$ y'=(5x-6)'=(5x)'+(-6)' $$

    с учетом того, что производная от постоянной равна нулю, а производная от функции

    $$y=Cx=C$$, получим:

    $$ y'=(5x)'+(-6)'=5 $$

    Ответ:

    $$ y'= 5 $$

  2. Определите производную функции $$ y=4x^3 - \frac{2}{\sqrt{x+cos(x)}} $$ .
    Посмотреть решение
    Решение:

    $$ y'= \left(4x^3 - \frac{2}{\sqrt{x+cos(x)}} \right)' $$

    $$ y'=(5x-6)'=(5x)'+(-6)' $$

    Для определения производства воспользуемся правилом определения суммы функций:

    $$ y' = (4x^3)' - \left( \frac{2}{x} \right)' + (cos(x))' $$

    Найдем каждую из производных по отдельности:

    Сначала используем производную степенной функции:

    $$ (4x^3)' = 12x^2 ;$$

    $$ \left( \frac{2}{\sqrt{x}} \right)' = 2 \cdot \frac{1}{(2\sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x}}; $$

    Затем производную тригонометрической функции cos:

    $$ (cos(x))'=-sin(x) $$

    Получим:

    $$ y' = 12x^2 - \frac{1}{\sqrt{x}} - sin(x) $$.

    Ответ:

    $$ y' = 12x^2 - \frac{1}{\sqrt{x}} - sin(x) $$

  3. Найти производную функции $$ y=x^2 \cdot arctg(x) $$.
    Посмотреть решение
    Решение:

    Воспользуемся правилом для нахождения производной произведения функций $$(vu)'=v'u+uv'$$ :

    $$ y' = (x^2)' \cdot arctg(x)+(arctg(x))' \cdot x^2 = 2x \cdot arctg(x) + \frac{1}{1+x^2} = 2x \cdot arctg(x) + \frac{x^2}{(1+x^2)} $$

    Ответ:

    $$ 2x \cdot arctg(x) + \frac{x^2}{(1+x^2)} $$

  4. Найти производную функции $$ y= 6 \cdot \frac{(2x+5)}{3x^2+1} $$.
    Посмотреть решение
    Решение:

    Чтобы определить производную в данном примере необходимо воспользоваться правилом для определения производной частного двух функций $$(vu)'=v'u- \frac{uv'}{v^2}$$:

    $$ y' = (6 \cdot \frac{(2x+5)}{(3x^2+1)})'=\frac{ 6 \cdot ((2x+5)' \cdot (3x^2 + 1) - (2x + 5) \cdot (3x^2 + 1)') }{ (3x^2 + 1)^2 } $$

    $$ y' = \frac{6 \cdot (2 \cdot (3x^2 + 1) - (2x + 5) \cdot 6x)}{(3x^2 + 1)^2} $$

    $$ y' = \frac{ 12 \cdot ((3x^2 + 1) - (6x^2 + 15)) }{(3x^2 + 1)^2} $$

    $$ y' = \frac{ 12 \cdot (-3x^2 - 15x + 1) }{(3x^2 + 1)^2 } $$

    Ответ:

    $$ y' = \frac{ 12 \cdot (-3x^2 - 15x + 1) }{(3x^2 + 1)^2 } $$

  5. Найдите производную функции $$ y= \frac{ (2x^3-3x^2+7) }{x} $$.
    Посмотреть решение
    Решение:

    $$ y = \frac{2x^3}{x} - \frac{3x^2}{x} + \frac{7}{x} = 2x^2 - 3x + \frac{7}{x} $$

    $$ y' = (2x^2 - 3x + \frac{7}{x})' $$

    $$ y' = (2x^2)' - (3x)' + (\frac{7}{x})' $$

    $$ y' = 4x-3- \frac{7}{x^2} $$

    Ответ:

    $$ y' = 4x-3- \frac{7}{x^2} $$

  6. Найдите производную функции $$ y=sin(12x-5) $$
    Посмотреть решение
    Решение:

    Данная функция является сложной, поэтому, сначала берем производную от внешней функции, и умножаем на производную от внутренней функции:

    $$ y' = (sin(12x-5))' $$

    $$ y' = sin'(12x-5) \cdot (12x-5)' $$

    $$ y' = cos(12x-5) \cdot 12 = 12 cos(12x-5) $$

    Ответ:

    $$ y' = cos(12x-5) \cdot 12 = 12 cos(12x-5) $$

  7. Определите двойную производную от функции $$ y=3x^3+5x^2-11x+6 $$
    Посмотреть решение
    Решение:

    Данная функция является сложной, поэтому, сначала берем производную от внешней функции, и умножаем на производную от внутренней функции:

    $$ y'=(3x^3 + 5x^2 - 11x + 6)' = (3x^3)' + (5x^2)' - (11x)' + (6)' ; $$

    $$ y' = 9x^2 + 10x - 11 $$

    После этого из полученной функции берем еще одну производную:

    $$ y''= ( 3x^3 + 5x^2 - 11x + 6 )'' = (9x^2 + 10x - 11)' = (9x^2)' + (10x)' - (11)'; $$

    $$ y'' = 18x + 10 $$

    Ответ:

    $$ y'' = 18x + 10 $$

  8. Найдите производную функции $$ y=cos(x)-3^x $$
    Посмотреть решение
    Решение:

    Используем формулы для нахождения производной от косинуса и показательной функции:

    $$ y' = (cos(x))' - (3^x)' $$

    $$ y' = -sin(x) - (3^x \cdot ln3) $$

    Ответ:

    $$ y' = -sin(x) - (3^x \cdot ln3) $$

  9. Найдите производную функции $$ y=\frac{1}{arcsin^2x} $$
    Посмотреть решение
    Решение:

    Имеем сложную функцию, где вложенной функцией является arcsin x:

    $$ y' = (\frac{1}{ arcsin^2x })' = ( \frac{-2}{arcsin^3 x} ) \cdot ( arcsin x )$$

    $$ y' = ( \frac{-2}{arcsin^3 x} ) \cdot \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)} } $$

    Ответ:

    $$ y' = ( \frac{-2}{arcsin^3 x} ) \cdot \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)} } $$

  10. Найти производную $$ y=ln^2(3x-5) $$
    Посмотреть решение
    Решение:

    Для того, чтобы найти решение, сначала определим производную $$y=x^2$$, а затем производную внутренней функции $$3x-5$$ и перемножим их:

    $$ y' = (ln^2(3x-5))' $$

    $$ y' = 2 \cdot ln(3x-5) \cdot (3x-5)' $$

    $$ y' = 2 \cdot ln(3x-5) \cdot 3 $$

    $$ y' = 6 \cdot ln(3x-5)$$

    Ответ:

    $$ y' = 6 \cdot ln(3x-5)$$

Написать нам

Оставить отзыв

Подтверждение

Теперь Вам нужно перейти в свою почту и подтвердить отправку отзыва