Вычисление площади

Вычисление интегралов

Пример решили: 16780 раз Сегодня решили: 0 раз
Введите выражение для вычисления интеграла

Идет вычисление
Таблица синтаксиса
Скрыть таблицу
Таблица синтаксиса
Sin(x) Синус (x)
Cos(x) Косинус (x)
Tan(x) Тангенс (x)
Cotan(x) Тангенс (x)
Sec(x) Секанс (x)
Csc(x) Косеканс (x)
Arcsin(x) Арксинус (x)
Arccos(x) Арккосинус (x)
Arctan(x) Арктангенс (x)
Arcsec(x) Арксеканс (x)
Arccosec(x) Арккосеканс (x)
Log(x) Логарифм (x) по основанию e
Lg(x) Логарифм (x) по основанию 10
Log[a,x] Логарифм (x) по основанию a
x^a X в степени a = x^a
abs(x) Модуль x = (|x|)
Sqrt(x) Корень из x
Вычисление интеграла

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка F'(x) = f(x)

Обратную операцию нахождения первообразной для данной функции называют интегрированием.

Примеры решений
  1. Найдите неопределенный интеграл $$ \int 5sin(x)dx $$.
    Посмотреть решение
    Решение:

    Данный интеграл можно найти при помощи прямого интегрирования. Для этого найдем первообразную функции sin(x), а также воспользоваться свойством, по которому постоянную можно вынести за знак интеграла.

    $$ \int 5 sin(x)dx = 5 \cdot \int sin(x)dx = 5 \cdot ( -cos(x) ) + C = -5cos(x) + C$$

    Ответ:

    $$ \int 5 sin(x)dx = -5cos(x) + C$$

  2. Определите интеграл $$ \int \frac{dx}{\sqrt{5-4x^2}} $$.
    Посмотреть решение
    Решение:

    Для решения данного интеграла необходимо преобразовать выражение, после чего найти первообразную. Сначала вынесем общий множитель:

    $$ \int \frac{dx}{\sqrt(5-4x^2)} = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{5}{4-x^2})}} = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{dx}{\sqrt{ \left( ( \sqrt{(\frac{5}{4})})^2 -x^2 \right) }} $$

    Теперь можно использовать табличный интеграл:

    $$ \int \frac{dx}{\sqrt{(5-4x^2)}} = \frac{1}{2} \cdot arcsin \left( \sqrt{(\frac{5}{4})} \cdot x \right) + C$$

    Ответ:

    $$ \int \frac{dx}{\sqrt{5-4x^2}} = \frac{1}{2} \cdot arcsin \left( \sqrt{(\frac{5}{4})} \cdot x \right) + C $$

  3. Найдите интеграл $$ \int tg xdx $$.
    Посмотреть решение
    Решение:

    Чтобы найти интеграл потребуется внесение переменной под знак дифференциала:

    $$ \int tg xdx = \int sin \frac{xdx}{cos x} = - \int d cos \frac{x}{cos x} $$

    Теперь воспользуемся табличным интегралом:

    $$ - \int dcos \frac{x}{cos x} = ln |cos x| + C $$

    Ответ:

    $$ \int tg xdx = ln |cos x| + C$$

  4. Найдите интеграл $$ \int(1+2sin x)^2 \cdot cos xdx $$.
    Посмотреть решение
    Решение:

    Чтобы решить этот интеграл целесообразно преобразовать его, внеся одну из функций под знак дифференциала, а затем произвести замену переменной:

    $$ \int (1 + 2sin x)^2 \cdot cos xdx = \frac{1}{2} \int (1 + 2sin x)^2 d (1 + 2sin x) $$

    Произведем замену переменной 1+2sin x=t:

    $$ \frac{1}{2} \int t^2 dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^3}{3} + C = \frac{t^3}{6} + C = \frac{(1 + 2sin x)^3}{6} + C$$

    Ответ:

    $$ \int(1+2sin x)^2 \cdot cos xdx = \frac{(1 + 2sin x)^3}{6} + C$$

  5. Найдите интеграл $$ \int x \cdot sin x dx $$.
    Посмотреть решение
    Решение:

    Чтобы найти данный интеграл, используем правила интегрирования по частям $$ \int vdu=vu- \int udv $$. Преобразуем интеграл:

    $$ \int x \cdot sin x dx = - \int x d cos x = -(x \cdot x - \int cos x dx) $$

    Сводим к табличному интегралу:

    $$ - (x \cdot cos x - \int cos x dx) = -(x \cdot cos x - sin x) + C = sin x - x \cdot cos x + C $$

    Ответ:

    $$ \int x \cdot sin x dx = sin x - x \cdot cos x + C $$

  6. Найдите интеграл $$ \int \frac{ (x+1)dx }{ (x^2 - 3x + 2) } $$.
    Посмотреть решение
    Решение:

    При интегрировании рациональной функции разбиваем ее на несколько более простых при помощи метода неопределенных коэффициентов. По теореме Виета можно определить корни знаменателя 1 и 2. Тогда функция приобретет вид:

    $$ \frac{(x+1)}{ ( (x-2) \cdot (x-1) ) } $$

    Применяя метод неопределенных коэффициентов, получим:

    $$ \frac{( A(x-1) + B(x-2) )}{( (x-2) \cdot (x-1) )} = \frac{ ((A+B)x-A-2B ) }{ ((x-2)\cdot(x-1)) } $$

    Составим систему уравнений:

    $$ \begin{cases} A + B = 1 \\ -A-2B = 1 \end{cases} $$

    Решая ее, получим:

    $$A=3, B=-2$$

    Тогда:

    $$ \frac{(x+1)}{( (x-2)\cdot (x-1) )} = \frac{3}{(x-2)} - \frac{2}{(x-1)} $$

    Вернемся к интегрированию:

    $$ \int \frac{3}{(x-2)dx} - \int \frac{2}{(x-1)dx} = 3 \cdot ln |x-2| -2 \cdot ln|x-1| + C $$

    Ответ:

    $$ \int x \cdot sin x dx = sin x - x \cdot cos x + C $$

  7. Найдите интеграл $$ \int tg^33xdx $$.
    Посмотреть решение
    Решение:

    Чтобы найти интеграл воспользуемся тригонометрической заменой tg3x=t, тогда

    $$ x= \frac{1}{3} \cdot arctg t, \quad dx= \frac{dt}{(3(1+t²))} $$

    Произведем подстановку:

    $$ \int tg^33xdx = \int \frac{t^3 dt}{(3 \cdot (1+t^2))} = \frac{1}{3} \left(\int \frac{(t^3 + t)dt}{(1+t^2)} - \int \frac{tdt}{(1+t^2)} \right) = $$ $$ = \frac{1}{3}(\int tdt - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2tdt}{(1+t^2)} ) = \frac{1}{3} (\frac{t^2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{d(1+t^2)}{(1+t^2)} ) = $$ $$ = \frac{t^2}{6} - \frac{1}{6} \cdot ln|1+t^2|+C = tg^2\frac{3x}{6} - \frac{1}{6} \cdot ln|1+tg^23x| + C$$

    Ответ:

    $$ \int tg^33xdx = tg^2\frac{3x}{6} - \frac{1}{6} \cdot ln|1+tg^23x| + C $$

  8. Найдите интеграл $$ \int sin^2xdx $$.
    Посмотреть решение
    Решение:

    Применим тригонометрическую формулу, связанную с двойным аргументом $$ sin^2x=\frac{(1-cos 2x)}{2} $$, после чего разобьем интеграл на два более простых:

    ∫sin²xdx=1/2·∫(1-cos 2x)dx=1/2·∫dx-1/2·∫cos 2xdx=1/2·∫dx-1/4·∫cos 2xd2x=1/2·x-1/4·sin 2x+C=1/2·(x-sin 2x/2)+C $$ \int sin^2xdx = \frac{1}{2} \cdot \int(1-cos 2x)dx = \frac{1}{2} \cdot \int dx -\frac{1}{2} \int cos 2xdx =$$ $$ = \frac{1}{2} \cdot \int dx - \frac{1}{4} \cdot \int cos 2xdx = \frac{1}{2} \cdot x - \frac{1}{4} \cdot sin 2x + C = \frac{1}{2} \cdot (x - sin \frac{2x}{2}) + C $$

    Ответ:

    $$ \int sin^2xdx = \frac{1}{2} \cdot (x - sin \frac{2x}{2}) + C $$

  9. Найдите интеграл $$ \int \frac{(x+1)dx}{\sqrt(3-x^2)} $$.
    Посмотреть решение
    Решение:

    Сначала разложим интеграл на 2 более простых, а затем произведем замену:

    $$ \int \frac{(x+1)dx}{\sqrt{(3-x^2)}} = \int \frac{xdx}{ \sqrt{(3-x^2)} } + \int \frac{dx}{ \sqrt{(3-x^2)} } $$

    Возьмем каждый из интегралов по отдельности:

    $$ \int \frac{xdx}{ \sqrt{(3-x^2)} } = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{dx^2}{ \sqrt{(3-x^2)} } = - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{d(3-x^2)}{ \sqrt(3-x^2) } = - \sqrt{(3-x^2)} + C $$

    $$ \int \frac{dx}{ \sqrt{(3-x^2)} } = arcsin \frac{x}{ \sqrt{3} } +C $$

    Получим:

    $$ \int \frac{(x+1)dx}{\sqrt{(3-x^2)} } = arcsin \frac{x}{\sqrt{3}} - \sqrt{(3 - x^2)} + C $$

    Ответ:

    $$ \int \frac{(x+1)dx}{\sqrt(3-x^2)} = arcsin \frac{x}{\sqrt{3}} - \sqrt{(3 - x^2)} + C $$

  10. Найдите интеграл $$ \int x \cdot ln^2 xdx $$.
    Посмотреть решение
    Решение:

    Чтобы найти интеграл необходимо дважды применить интегрирование по частям. Получим:

    $$ \int x \cdot ln^2 xdx = \frac{1}{2} \cdot \int ln^2xdx^2 = \frac{1}{2} \cdot ( ln^2 x \cdot x^2 - \int x^2d ln^2x ) = \frac{1}{2} \cdot (ln^2x \cdot x^2 - \int x^2 \cdot 2 \cdot ln \frac{xdx}{x})= $$

    $$ = \frac{1}{2} \cdot (ln^2x \cdot x^2 - 2 \cdot \int x \cdot ln xdx) = \frac{1}{2} \cdot (ln^2x \cdot x \cdot x^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot ( ln x \cdot x^2 - \int xdx ) ) = ln^2 x \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{4} +C$$

    Ответ:

    $$ \int x \cdot ln^2 xdx = ln^2 x \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{4} +C $$

Написать нам

Оставить отзыв

Подтверждение

Теперь Вам нужно перейти в свою почту и подтвердить отправку отзыва