Вычисление интегралов

Решение:

Данный интеграл можно найти при помощи прямого интегрирования. Для этого найдем первообразную функции sin(x), а также воспользоваться свойством, по которому постоянную можно вынести за знак интеграла.

$$ \int 5 sin(x)dx = 5 \cdot \int sin(x)dx = 5 \cdot ( -cos(x) ) + C = -5cos(x) + C$$

Ответ:

$$ \int 5 sin(x)dx = -5cos(x) + C$$

Решение:

Для решения данного интеграла необходимо преобразовать выражение, после чего найти первообразную. Сначала вынесем общий множитель:

$$ \int \frac{dx}{\sqrt(5-4x^2)} = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{5}{4-x^2})}} = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{dx}{\sqrt{ \left( ( \sqrt{(\frac{5}{4})})^2 -x^2 \right) }} $$

Теперь можно использовать табличный интеграл:

$$ \int \frac{dx}{\sqrt{(5-4x^2)}} = \frac{1}{2} \cdot arcsin \left( \sqrt{(\frac{5}{4})} \cdot x \right) + C$$

Ответ:

$$ \int \frac{dx}{\sqrt{5-4x^2}} = \frac{1}{2} \cdot arcsin \left( \sqrt{(\frac{5}{4})} \cdot x \right) + C $$

Решение:

Чтобы найти интеграл потребуется внесение переменной под знак дифференциала:

$$ \int tg xdx = \int sin \frac{xdx}{cos x} = - \int d cos \frac{x}{cos x} $$

Теперь воспользуемся табличным интегралом:

$$ - \int dcos \frac{x}{cos x} = ln |cos x| + C $$

Ответ:

$$ \int tg xdx = ln |cos x| + C$$

Решение:

Чтобы решить этот интеграл целесообразно преобразовать его, внеся одну из функций под знак дифференциала, а затем произвести замену переменной:

$$ \int (1 + 2sin x)^2 \cdot cos xdx = \frac{1}{2} \int (1 + 2sin x)^2 d (1 + 2sin x) $$

Произведем замену переменной 1+2sin x=t:

$$ \frac{1}{2} \int t^2 dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^3}{3} + C = \frac{t^3}{6} + C = \frac{(1 + 2sin x)^3}{6} + C$$

Ответ:

$$ \int(1+2sin x)^2 \cdot cos xdx = \frac{(1 + 2sin x)^3}{6} + C$$

Решение:

Чтобы найти данный интеграл, используем правила интегрирования по частям $$ \int vdu=vu- \int udv $$. Преобразуем интеграл:

$$ \int x \cdot sin x dx = - \int x d cos x = -(x \cdot x - \int cos x dx) $$

Сводим к табличному интегралу:

$$ - (x \cdot cos x - \int cos x dx) = -(x \cdot cos x - sin x) + C = sin x - x \cdot cos x + C $$

Ответ:

$$ \int x \cdot sin x dx = sin x - x \cdot cos x + C $$

Решение:

При интегрировании рациональной функции разбиваем ее на несколько более простых при помощи метода неопределенных коэффициентов. По теореме Виета можно определить корни знаменателя 1 и 2. Тогда функция приобретет вид:

$$ \frac{(x+1)}{ ( (x-2) \cdot (x-1) ) } $$

Применяя метод неопределенных коэффициентов, получим:

$$ \frac{( A(x-1) + B(x-2) )}{( (x-2) \cdot (x-1) )} = \frac{ ((A+B)x-A-2B ) }{ ((x-2)\cdot(x-1)) } $$

Составим систему уравнений:

$$ \begin{cases} A + B = 1 \\ -A-2B = 1 \end{cases} $$

Решая ее, получим:

$$A=3, B=-2$$

Тогда:

$$ \frac{(x+1)}{( (x-2)\cdot (x-1) )} = \frac{3}{(x-2)} - \frac{2}{(x-1)} $$

Вернемся к интегрированию:

$$ \int \frac{3}{(x-2)dx} - \int \frac{2}{(x-1)dx} = 3 \cdot ln |x-2| -2 \cdot ln|x-1| + C $$

Ответ:

$$ \int x \cdot sin x dx = sin x - x \cdot cos x + C $$

Решение:

Чтобы найти интеграл воспользуемся тригонометрической заменой tg3x=t, тогда

$$ x= \frac{1}{3} \cdot arctg t, \quad dx= \frac{dt}{(3(1+t²))} $$

Произведем подстановку:

$$ \int tg^33xdx = \int \frac{t^3 dt}{(3 \cdot (1+t^2))} = \frac{1}{3} \left(\int \frac{(t^3 + t)dt}{(1+t^2)} - \int \frac{tdt}{(1+t^2)} \right) = $$ $$ = \frac{1}{3}(\int tdt - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2tdt}{(1+t^2)} ) = \frac{1}{3} (\frac{t^2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{d(1+t^2)}{(1+t^2)} ) = $$ $$ = \frac{t^2}{6} - \frac{1}{6} \cdot ln|1+t^2|+C = tg^2\frac{3x}{6} - \frac{1}{6} \cdot ln|1+tg^23x| + C$$

Ответ:

$$ \int tg^33xdx = tg^2\frac{3x}{6} - \frac{1}{6} \cdot ln|1+tg^23x| + C $$

Решение:

Применим тригонометрическую формулу, связанную с двойным аргументом $$ sin^2x=\frac{(1-cos 2x)}{2} $$, после чего разобьем интеграл на два более простых:

∫sin²xdx=1/2·∫(1-cos 2x)dx=1/2·∫dx-1/2·∫cos 2xdx=1/2·∫dx-1/4·∫cos 2xd2x=1/2·x-1/4·sin 2x+C=1/2·(x-sin 2x/2)+C $$ \int sin^2xdx = \frac{1}{2} \cdot \int(1-cos 2x)dx = \frac{1}{2} \cdot \int dx -\frac{1}{2} \int cos 2xdx =$$ $$ = \frac{1}{2} \cdot \int dx - \frac{1}{4} \cdot \int cos 2xdx = \frac{1}{2} \cdot x - \frac{1}{4} \cdot sin 2x + C = \frac{1}{2} \cdot (x - sin \frac{2x}{2}) + C $$

Ответ:

$$ \int sin^2xdx = \frac{1}{2} \cdot (x - sin \frac{2x}{2}) + C $$

Решение:

Сначала разложим интеграл на 2 более простых, а затем произведем замену:

$$ \int \frac{(x+1)dx}{\sqrt{(3-x^2)}} = \int \frac{xdx}{ \sqrt{(3-x^2)} } + \int \frac{dx}{ \sqrt{(3-x^2)} } $$

Возьмем каждый из интегралов по отдельности:

$$ \int \frac{xdx}{ \sqrt{(3-x^2)} } = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{dx^2}{ \sqrt{(3-x^2)} } = - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{d(3-x^2)}{ \sqrt(3-x^2) } = - \sqrt{(3-x^2)} + C $$

$$ \int \frac{dx}{ \sqrt{(3-x^2)} } = arcsin \frac{x}{ \sqrt{3} } +C $$

Получим:

$$ \int \frac{(x+1)dx}{\sqrt{(3-x^2)} } = arcsin \frac{x}{\sqrt{3}} - \sqrt{(3 - x^2)} + C $$

Ответ:

$$ \int \frac{(x+1)dx}{\sqrt(3-x^2)} = arcsin \frac{x}{\sqrt{3}} - \sqrt{(3 - x^2)} + C $$

Решение:

Чтобы найти интеграл необходимо дважды применить интегрирование по частям. Получим:

$$ \int x \cdot ln^2 xdx = \frac{1}{2} \cdot \int ln^2xdx^2 = \frac{1}{2} \cdot ( ln^2 x \cdot x^2 - \int x^2d ln^2x ) = \frac{1}{2} \cdot (ln^2x \cdot x^2 - \int x^2 \cdot 2 \cdot ln \frac{xdx}{x})= $$

$$ = \frac{1}{2} \cdot (ln^2x \cdot x^2 - 2 \cdot \int x \cdot ln xdx) = \frac{1}{2} \cdot (ln^2x \cdot x \cdot x^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot ( ln x \cdot x^2 - \int xdx ) ) = ln^2 x \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{4} +C$$

Ответ:

$$ \int x \cdot ln^2 xdx = ln^2 x \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{4} +C $$