Свойства определителя матрицы
1) Значение определителя не изменяется при транспонировании матрицы. Следовательно, строки и столбцы равноправны с точки зрения вычисления определителя. Все свойства относительно строк справедливы относительно столбцов.
2) Значение определителя не изменяется, если к любой строке (или столбцу) прибавить другую строку (или столбец), умноженную на некоторое число.
3) Определитель равен нулю, если:
a) Все элементы какой-то строки (или столбца) равны 0.
б) Все элементы хотя бы 2 строк (или столбцов) пропорциональны.
4) Если элементы строки (или столбца) представлены в виде суммы, то определитель можно представить в виде суммы.
$$ \begin{vmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$$
5) При вычислении определителя удобно преобразовать его тождественно, используя св-во 2, получить максимальное число нулей.
6) Значение определителя изменится в k раз, если все элементы умножить на $$ k \neq 0 $$.
$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = $$
$$= k \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = k \cdot \Delta $$