Линейные операции над матрицами

1326 просмотров

Линейными операциями называются операции сложения матриц и умножения матрицы на число.

Сложение матриц:

Суммой матриц одинаковой размерности называется матрица, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов.

$$ C_{m \times n} = A_{m \times n} + B_{m \times n} \Leftrightarrow c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} $$

Умножение на число:

Произведением матрицы на число называется матрица тех же размеров, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на число.

$$ \lambda A = ( \lambda a_{ij})_{m \times n}, A = (a_{ij})_{m \times n} $$

Свойства линейных операций

1) Коммутативность: $$ A + B = B + A $$

2) Ассоциативность: $$A + B + C = (A +B) + C = A + (B + C)$$

3) Дистрибутивность относительно умножения на число: $$ \gamma \cdot (A + B) = \gamma \cdot A + \gamma \cdot B $$

Пример:

$$ A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

$$ 3A - 2B = \begin{pmatrix} 15 & -6 \\ 0 & 21 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} = $$

$$ = \begin{pmatrix} 15 & -6 \\ 0 & 21 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & -10 \\ -6 & 13\end{pmatrix}$$

Написать нам

Оставить отзыв

Подтверждение

Теперь Вам нужно перейти в свою почту и подтвердить отправку отзыва